三角形外心为什么是三条垂直平分线交于一点,而不是三条角平分线交于一点?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 07:01:23
三角形外心为什么是三条垂直平分线交于一点,而不是三条角平分线交于一点?
我想知道是怎么推出来这个结论的,最好有详细的证明 PS在线等,最好能快点解决
我想知道是怎么推出来这个结论的,最好有详细的证明 PS在线等,最好能快点解决
所谓外心呢,就是外接圆的圆心;而外接圆最明显的特征就是,三个顶点都在圆周上.所以,要证明谁是外心,只要证明谁的交点到三个顶点的距离相等即可.
证明:
设有△ABC,设它的外接圆(外接圆存在性的证明不属于本题范围)为⊙O.
既然⊙O是△ABC的外接圆,那么:
(1)三点A、B、C必然都在⊙O上;
(2)三边AB、BC、CA必然都是⊙O的弦;
(3)圆心O到A、B、C三点的距离必然相等;
根据:到线段两端点距离相等的点,必然在线段的垂直平分线上;
可知:
圆心,即外心——O,必然同时是线段AB、BC、CA的垂直平分线上的点.
而O既然是存在的,那么这三条垂直平分线必然有共同点;如果它们中有任何两条是重合的,那么相应的两条线段所在的直线必然是平行的——而这是不可能的.所以唯一的结论就是:
三条垂直平分线,相交于一个点——O;
这也就表示:外接圆的圆心——如果有的话——一定是垂直平分线的交点.
证毕;
同理,
可根据:到角两边距离相等的点,必然在角的平分线上;
来证明:三角形的内心,一定是三条角平分线的交点.
证明:
设有△ABC,设它的外接圆(外接圆存在性的证明不属于本题范围)为⊙O.
既然⊙O是△ABC的外接圆,那么:
(1)三点A、B、C必然都在⊙O上;
(2)三边AB、BC、CA必然都是⊙O的弦;
(3)圆心O到A、B、C三点的距离必然相等;
根据:到线段两端点距离相等的点,必然在线段的垂直平分线上;
可知:
圆心,即外心——O,必然同时是线段AB、BC、CA的垂直平分线上的点.
而O既然是存在的,那么这三条垂直平分线必然有共同点;如果它们中有任何两条是重合的,那么相应的两条线段所在的直线必然是平行的——而这是不可能的.所以唯一的结论就是:
三条垂直平分线,相交于一个点——O;
这也就表示:外接圆的圆心——如果有的话——一定是垂直平分线的交点.
证毕;
同理,
可根据:到角两边距离相等的点,必然在角的平分线上;
来证明:三角形的内心,一定是三条角平分线的交点.