（2014•江西样卷）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/08 09:14:28

（2014•江西样卷）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．
命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF=45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF=BE+DF．
证明思路：
如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB=AD，∠BAD=90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDE′=180°，点F、D、E′是一条直线．
根据SAS，得证△AEF≌△AFE′，得EF=E′F=E′D+DF=BE+DF．

（1）特例应用
如图1，命题中，如果BE=2，DF=3，求正方形ABCD的边长．
（2）类比变式
如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF=45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论．
（3）拓展深入
如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB=AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN=

（1）如图1，

设正方形ABCD的边长为x，则有CE=x-2，CF=x-3．
由材料可知：EF=BE+DF=2+3=5．
在Rt△CEF中，
∵∠C=90°，∴CE²+CF²=EF²．
∴（x-2）²+（x-3）²=5²．
解得：x₁=6，x₂=-1（舍去）
所以正方形ABCD的边长为6．

（2）EF=BE-DF．
理由如下：
在BC上取一点F′，使得BF′=DF．连接AF′，如图3．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠ADF=90°=∠B．
在△ABF′和△ADF中，

AB＝AD
∠B＝∠ADF
BF′＝DF．
∴△ABF′≌△ADF．
∴AF′=AF，∠BAF′=∠DAF．
∴∠F′AF=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，∴∠F′AE=45°=∠FAE．
在△F′AE和△FAE中，

AF′＝AF
∠F′AE＝∠FAE
AE＝AE．
∴△F′AE≌△FAE．
∴F′E=FE．
∴EF=F′E=BE-BF′=BE-DF．

（3）①延长MD到点M′，使得DM′=BM，连接AM′，如图5．

∵∠ADM′+∠ADM=180°，∠ABM+∠ADM=180°，
∴∠ABM=∠ADM′．
在△ABM和△ADM′中，

AB＝AD
∠ABM＝∠ADM′
BM＝DM′．
∴△ABM≌△ADM′．
∴AM=AM′∠BAM=∠DAM′．
∴∠MAM′=∠BAD．
∵∠MAN=
1
2∠BAD，∴∠MAN=
1
2∠MAM′．
∴∠MAN=∠M'AN．
∵AM=AM′，∠MAN=∠M'AN，
∴MH=M'H，AH⊥MM′．
∴MH=M′H=DM′+DH=BM+DH，DM⊥AN．

②Ⅰ．当点C在

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