设A是一个实方阵,证明:存在正交矩阵 S,T,以及上三角 P,Q ,使得 A=SP=QT
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 13:30:04
设A是一个实方阵,证明:存在正交矩阵 S,T,以及上三角 P,Q ,使得 A=SP=QT
如题,求证
如题,求证
感觉证得有些勉强,凑合着看吧,期待高人完美解答:
小写t是转置
实方阵A=SP是显然的,只需证SP=QT
由S T是正交矩阵,知StS=SSt=E=TtT=TTt
那么SP=SPTtT
要让SP=QT
只需让SPTt为上三角,那么取Q=SPTt即可
反证:假设不存在正交矩阵S、T,使SPTt为上三角
取S=
|-1 0 0 ...0|
|0 1 0 ...0|
|0 0 1 ...0|
|.|
|0 0 0 ...1|
T=Tt
|1 0 0 ...0|
|0 -1 0 ...0|
|0 0 1 ...0|
|.|
|0 0 0 ...1|
那么S左乘是让P第一行反号,Tt右乘是让P第二列反号
这样最后形成的P'仍为上三角,矛盾.
也就是存在ST,使SPTt为上三角,那么就有STPQ,使A=SP=QT
小写t是转置
实方阵A=SP是显然的,只需证SP=QT
由S T是正交矩阵,知StS=SSt=E=TtT=TTt
那么SP=SPTtT
要让SP=QT
只需让SPTt为上三角,那么取Q=SPTt即可
反证:假设不存在正交矩阵S、T,使SPTt为上三角
取S=
|-1 0 0 ...0|
|0 1 0 ...0|
|0 0 1 ...0|
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T=Tt
|1 0 0 ...0|
|0 -1 0 ...0|
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那么S左乘是让P第一行反号,Tt右乘是让P第二列反号
这样最后形成的P'仍为上三角,矛盾.
也就是存在ST,使SPTt为上三角,那么就有STPQ,使A=SP=QT
证明:任意一个可逆实矩阵A 可以分解为QT ,其中Q为正交矩阵 T为上三角矩阵
设A为可逆n阶方阵,证明存在正交矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵
设A十一n阶实可逆矩阵,证明:存在一个正定矩阵S和一个正交阵P,使得A=PS
设A十一n阶实可逆矩阵,证明:存在一个正定矩阵S和一个正交阵P,是A=PS
设A是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得
设a是n阶实対称矩阵,a^2=a.证明存在正交矩阵t.使得t^-1at=diag(1,1.
设A为n阶方阵,证明存在一个酉矩阵,使得U'AU为上三角矩阵
设A是n阶实对称矩阵,A^2=A,证明存在正交矩阵.
证明:矩阵A~B的充要条件是存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
设A,B都是实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得(P^-1)AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
设A、B均为n阶可逆矩阵,证明存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B
设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.