设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/19 10:34:45

我证的是T^-1AT,你再调整一下字母吧~
证明：
设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,
J1 λi 1
J2 λi
J= .Ji=.1
Jn 为Jordan标准型,而 λi ,i=1,2,...,s
由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.
又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.
证毕.
再问：这个太高级了，我学的线性代数没这么难，这道题用数学归纳法就可以做了，也很方便，不过还是谢谢你了。

设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵. 线性代数与解析几何设N阶方阵A的N个特征值互异,B是N阶可逆阵.证明AB=BA(充分必要条件)存在可逆阵P使得P逆AP和设A为可逆n阶方阵,证明存在正交矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵设A为n阶方阵,证明存在一个酉矩阵,使得U'AU为上三角矩阵设A,B为N阶方阵,E为单位矩阵,a1,a2,.an,为B的N个特征值,且存在可逆矩阵P使B=PAP^(-1)-p^(- 设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵设A是n阶矩阵,n维非零列向量α 是A的属于特征值λ 的特征向量,P是n阶可逆矩阵 ,则矩阵P^-1AP属于特征值λ 的设A、B均为n阶可逆矩阵,证明存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P-1AP）T属于特征值λ 设A是数域F上的n阶方阵,秩A=1,证明（1）存在n*1矩阵和1*n矩阵C,使A=BC （2）A^2=kA 设AB均为n阶实对称矩阵,证明存在n阶可逆矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵（p’为转置矩阵）