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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,AF=CE.求证四边形ACEF是菱形.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 21:37:27
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,AF=CE.求证四边形ACEF是菱形.

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证四边形ACEF是菱形.

证明:
∵∠ACB=90°,∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵DE垂直平分BC
∴BE=CE(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
∴∠BCE=∠B=30°
则∠ACE=90°-∠BCE=60°
∴△ACE是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)
∴CE=AE
∵CE=AF
∴AE=AF
∴∠AEF=∠F
∵DE⊥BC,∠ACB=90°
∴DF//CA
∴∠AEF=∠CAE=60°
∴△AEF是等边三角形
∴EF=AF(=AE)=AC=CE
∴四边形ACEF是菱形