已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2x=0成立，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 09:54:53

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2^x=0成立，
（1）试求f（x）的解析式；
（2）试讨论f（x）在R上的单调性，并用定义予以证明．

（1）由2f（x）+f（-x）+2^x=0①，
得2f（-x）+f（x）+2^-x=0②，
联立①②可解得f（x）=
1
3(2−x−2x+1)，
∴f（x）=
1
3(2−x−2x+1)；
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=
1
3(2−x1−2x1+1)-
1
3(2−x2−2x2+1)
=
1
3[（
1
2x1−
1
2x2）+2（2x2−2x1）]
=
1
3(2x2−2x1)（
1
2x1+x2+2），
又x₁0，
1
2x1+x2+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域R上单调递减．

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意实数x恒有2f(x)+f(-x)+2^x=0成立, 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,恒有f(x)+2f(-x)+2x=3x的平方成立. 设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f 设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x> 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y) =f（x）f（y）且f(x）＞0,f（2）=9 已知函数y=f（x）的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,y（x,y属于R）,等式f（x）*f（y）=f（x+y）成立已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0. 设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(1/2)=1,且当定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）设函数y=f(x)的定义域为（0,+无穷大）,且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f( 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x＞0都有f（x）＜0 已知函数y是在定义域R上的不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有xf（x+1）=(x+1)f（x）,则f【f（5/2）】的