已知函数f(x)=ax+lnx−1(a是常数),
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 16:12:57
已知函数f(x)=
+lnx−1
a |
x |
(Ⅰ)对函数求导可得,f′(x)=
x−a
x2
当a≤0时,在定义域(0,+∞)上,f′(x)>0恒成立,即f(x)单调增区间为 (0,+∞);
当a>0时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,即f(x)单调减区间为 (0,a);
在(a,+∞)上,,f′(x)>0,即f(x)单调增区间为 (a,+∞).
(II)a=1时,f′(x)=
x−1
x2,x∈[
1
e,e]
当x∈[
1
e,1)时,f′(x)<0
当x∈(1,e]时,f′(x)>0
∴x=1是函数f(x)在[
1
e,e]上唯一的极小值即为最小值
∴f(x)min=f(1)=0
∵f(
1
e)=e-2,f(e)=
1
e,而f(
1
e)-f(e)=e−2−
1
e=
e(e−2)−1
e>0
综上可得,当a=1时,方程f(x)=m在x∈[
1
e,e]上有两解,m的范围为0<m≤
1
e
(III)证明:若a=1,由(II)知f(x)=
1−x
x+lnx在[1,+∞)上为增函数
当n>1时,令x=
n
n−1,则x>1,故f(x)>f(1)=0
即f(
n
n−1)=
1−
n
n−1
n
n−1+ln
n
n−1=ln
n
n−1−
1
n>0
∴ln
n
n−1>
1
n
x−a
x2
当a≤0时,在定义域(0,+∞)上,f′(x)>0恒成立,即f(x)单调增区间为 (0,+∞);
当a>0时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,即f(x)单调减区间为 (0,a);
在(a,+∞)上,,f′(x)>0,即f(x)单调增区间为 (a,+∞).
(II)a=1时,f′(x)=
x−1
x2,x∈[
1
e,e]
当x∈[
1
e,1)时,f′(x)<0
当x∈(1,e]时,f′(x)>0
∴x=1是函数f(x)在[
1
e,e]上唯一的极小值即为最小值
∴f(x)min=f(1)=0
∵f(
1
e)=e-2,f(e)=
1
e,而f(
1
e)-f(e)=e−2−
1
e=
e(e−2)−1
e>0
综上可得,当a=1时,方程f(x)=m在x∈[
1
e,e]上有两解,m的范围为0<m≤
1
e
(III)证明:若a=1,由(II)知f(x)=
1−x
x+lnx在[1,+∞)上为增函数
当n>1时,令x=
n
n−1,则x>1,故f(x)>f(1)=0
即f(
n
n−1)=
1−
n
n−1
n
n−1+ln
n
n−1=ln
n
n−1−
1
n>0
∴ln
n
n−1>
1
n
已知函数f(x)=lnx+1x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).
已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数
已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数
已知函数f(x)=a/x+lnx-1(a是常数)
已知函数f(x)=lnx-ax,a为常数
已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,a为大于零的常数
已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)
已知函数f(x)=1-x/ax+lnx(a为常数)求f(x)的导数
已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx−1)ex+x
已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x
已知函数 f(x)=lnx+ 1-x ax ,其中a 为大于零的常数.