数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 08:01:36
数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
(1)计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想
(2)若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证:1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn<5/3
请详细说明第二小问
(1)计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想
(2)若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证:1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn<5/3
请详细说明第二小问
1.
a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8
a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³
猜想:an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
证:
n=1时,a1=(2-1)/1=1表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=(2^k -1)/2^(k-1),则当n=k+1时,
Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]
表达式同样成立,k为任意正整数,因此对于任意正整数n,表达式恒成立.
数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
2.
bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1
n≥1 2ⁿ-1≥1>0,数列{bn}各项均为正.
1/bn=1/(2ⁿ-1)
1/b1=1/(2-1)=1
a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8
a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³
猜想:an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
证:
n=1时,a1=(2-1)/1=1表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=(2^k -1)/2^(k-1),则当n=k+1时,
Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]
表达式同样成立,k为任意正整数,因此对于任意正整数n,表达式恒成立.
数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
2.
bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1
n≥1 2ⁿ-1≥1>0,数列{bn}各项均为正.
1/bn=1/(2ⁿ-1)
1/b1=1/(2-1)=1
数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
数列{An}满足An=(2^n)*(n^2),求前n项和Sn
数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an-3n
数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an-3n(n属于N*)
数列{an}的前n项和Sn满足:Sn =2an-3n(n∈N*) 1.证明{an+3}是等比数列
数列通式问题数列an的an=an-1+2^n(n>2 n∈N*)则它的通项公式数列an的前n项和Sn满足an=2-2Sn
设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
已知数列{an}满足Sn=2n-an(n属于N*),证明{an-2}是等比数列
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)
数列{an}的前n项和记作Sn,满足 Sn=2an+3n-12(n∈N*)
已知数列{an}满足a1=2,an=1/2an+1-2^n(n∈N+)求前n项和Sn