已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 22:06:58

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，
有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x （a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x ∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∈M；
（2）因为函数f（x）=a^x （a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：

有解，
消去y得a^x =x，显然x=0不是方程a^x =x的解，
所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f（x）=ax有f（x+T）=a^x +T=aTa^x =Ta^x =Tf（x）
故f（x）=a^x ∈M；
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因为k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，只有T=±1，
当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z．
当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，
则﹣k+π=2mπ，m∈Z，
即k=﹣2（m﹣1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．