关于圆切线方程问题的困惑

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/07 02:35:31

关于圆切线方程问题的困惑
若（X0,Y0）为半径为R的圆上一点,那么该圆的过此点的切线方程可由X0X 乘以 Y0Y等于R的平方求得~我就纳了闷儿了这方程怎么就可以表示这个圆的过该点的切线方程嘀捏?在此特向各位数码宝贝们请教这个切线方程的推导过程或者是讲一下这个方程是怎么来的还望各位不吝赐教在下这厢不尽感激啊.

设圆的方程为,
x^2 + y^2 = R^2,
（X0,Y0）为半径为圆上一点.
则,过此点的切线与圆心和此点的连线相互垂直.
若Y0 = 0,
则,X0 = R,或者,X0 = -R.
相应的切线方程为,
x = R,或者,x = -R.
符合
xX0 + yY0 = R^2.
若 Y0 不等于0,但X0 = 0,
则,Y0 = R,或者,Y0 = -R.
相应的切线方程为,
y = R,或者,y = -R.
符合
xX0 + yY0 = R^2.
若X0和Y0都不等于0.
则,
圆心和此点的连线的斜率为,Y0/X0.
所以,过此点的切线的斜率为,-X0/Y0.
过此点的切线方程为,
y - Y0 = -X0/Y0(x - X0),
方程两边同乘Y0,
yY0 - (Y0)^2 = -X0(x - X0),
yY0 - (Y0)^2 + xX0 - (X0)^2 = 0,
xX0 + yY0 = (X0)^2 + (Y0)^2 = R^2.
这就是,秘密所在吧.
一般情况下,
设圆的方程为,
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2,
则过圆上某点(X0,Y0)的切线方程可以由上面完全类似的推导,得到,
(x - a)(X0 - a) + (y - b)(Y0 - b) = R^2.
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根据曲线的梯度向量,也可得到相同的结论.
圆(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 上某点(X0,Y0)处的1个梯度方向[就是由圆心指向该点的向量]为,
[X0 - a,Y0 - b]
切线的方向向量和梯度方向相互垂直,
所以,这2个向量之间的点积（就是对应坐标相乘后求和）= 0.
若(x,y)是切线上的任意1点,
则向量[x - X0,y - Y0] 是切线的1个方向向量,
因此,
[X0 - a][x - X0] + [Y0 - b][y - Y0] = 0,
[X0 - a][x - a + a - X0] + [Y0 - b][y - b + b - Y0] = 0,
(x - a)[X0 - a] - [X0 - a]^2 + (y - b)[Y0 - b] - [Y0 - b]^2 = 0,
(x - a)[X0 - a] + (y - b)[Y0 - b] = [X0 - a]^2 + [Y0 - b]^2 = R^2
...

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