如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/05 05:17:33

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此

时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
2=a（0+1）（0-4），a=-
1
2，
∴y=-
1
2（x+1）（x-4）=-
1
2x²+
3
2x+2；

（3）存在符合条件的P点，且P（
13
7，0）或（-
22
5，0）．
根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：

y＝−
1
2x2+
3
2x+2
y＝−x−1，
解得

x＝−1
y＝0，

x＝6
y＝−7，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO=
3−0
4−1=1，即∠DBO=45°，tan∠EAB=
0−(−7)
6−(−1)=1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3
2，EA=7
2，AB=5，
由①得：
PB
AB＝
BD
AE，即
PB
5＝
3
2
7
2，即PB=
15
7，OP=OB-PB=
13
7，
由②得：
BP′
AE＝
BD
AB，即
P′B
7
2＝
3
2
5，即P′B=
42
5，OP′=OB-BP′=-
22
5，
∴P（
13
7，0）或（-
22
5，0）．