作业帮关于分段函数求导数的疑问
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 13:27:53
关于分段函数求导数的疑问
如图红色部分,我认为,此处不可以直接运用求导公式求,因为你仅仅是 x>0的范围,并不包括x=0,运用求导公式不妥.
因为公式 ( 和差积商的导数公式 ) 也是从最本质的定义演化出来的,定义公式就是
( f(x)-f(a) ) / ( x - a ),很显然定义公式的意思就是你要知道f(a).
定义是本源,其他的导数公式是衍生品.导数公式只有在满足定义的条件下,才能够起作用.
同时,蓝色部分,我觉得也说明了这个,求二阶导数的时候,忽然“从良”了,又按定义求了.
我和书本必然有一个错误,我的思考方式是否有问题?
如图红色部分,我认为,此处不可以直接运用求导公式求,因为你仅仅是 x>0的范围,并不包括x=0,运用求导公式不妥.
因为公式 ( 和差积商的导数公式 ) 也是从最本质的定义演化出来的,定义公式就是
( f(x)-f(a) ) / ( x - a ),很显然定义公式的意思就是你要知道f(a).
定义是本源,其他的导数公式是衍生品.导数公式只有在满足定义的条件下,才能够起作用.
同时,蓝色部分,我觉得也说明了这个,求二阶导数的时候,忽然“从良”了,又按定义求了.
我和书本必然有一个错误,我的思考方式是否有问题?
你提的的两个问题,书本没有错,错都在你：
（1）你画红线的部分没有问题.因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系.
（2）你画的蓝色部分同样没有问题.因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在.
说得很不客气,希望谅解.
再问： 首先十分感谢你的回答。
但是我还是没有明白，如果蓝色部分需要用定义来求解，是因为 f ' (x) 在两端有不同的表达式的话。那么，红色部分也是同样的状况啊， f(x)在0的两端也有不同的表达式。 我不明白，两者有着类似的条件，却用不同的方法，是为什么？
再答： 说过了，红色部分只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x0 时的导数，只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x0时候的二阶导数了吧，为什么却和x=0处的值有关？
再答： 蓝色部分是要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求在 x=0 处左、右导数，如求左导数，要考虑极限
lim(x→-0)[f'(x)-f'(0)]/x，
这里涉及到f'(0)和f'(x) (x0)。
再问： 感谢您的不厌其烦的解答。追问有字数限制，我做成图片了。矛盾的焦点在于，相同的条件，不同的解答方法。稍加替换，感觉红色和蓝色没有区别。
再答： 这句话回答过了：不管是二阶导数还是一阶导数，处理方法都是一样的，就是n阶导数也一样。
再问： 但是红线部分和蓝线部分的处理方法不一样。
再答： 这句话也回答过了：
（1）红线的部分：因为函数在 x>0 时是初等函数，是可导的，因而可以用运算法则求导，这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
（2）蓝色部分：因为要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数，只有当左、右导数都存在且相等时，所求的导数才存在。
再问： x>0时候，红线部分和蓝线部分都是初等函数2.红线在x=0两端有不同的表达式，蓝线也是如此。
再答： （1）红线的部分：只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x
（1）你画红线的部分没有问题.因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系.
（2）你画的蓝色部分同样没有问题.因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在.
说得很不客气,希望谅解.
再问： 首先十分感谢你的回答。
但是我还是没有明白，如果蓝色部分需要用定义来求解，是因为 f ' (x) 在两端有不同的表达式的话。那么，红色部分也是同样的状况啊， f(x)在0的两端也有不同的表达式。 我不明白，两者有着类似的条件，却用不同的方法，是为什么？
再答： 说过了，红色部分只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x0 时的导数，只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x0时候的二阶导数了吧，为什么却和x=0处的值有关？
再答： 蓝色部分是要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求在 x=0 处左、右导数，如求左导数，要考虑极限
lim(x→-0)[f'(x)-f'(0)]/x，
这里涉及到f'(0)和f'(x) (x0)。
再问： 感谢您的不厌其烦的解答。追问有字数限制，我做成图片了。矛盾的焦点在于，相同的条件，不同的解答方法。稍加替换，感觉红色和蓝色没有区别。
再答： 这句话回答过了：不管是二阶导数还是一阶导数，处理方法都是一样的，就是n阶导数也一样。
再问： 但是红线部分和蓝线部分的处理方法不一样。
再答： 这句话也回答过了：
（1）红线的部分：因为函数在 x>0 时是初等函数，是可导的，因而可以用运算法则求导，这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
（2）蓝色部分：因为要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数，只有当左、右导数都存在且相等时，所求的导数才存在。
再问： x>0时候，红线部分和蓝线部分都是初等函数2.红线在x=0两端有不同的表达式，蓝线也是如此。
再答： （1）红线的部分：只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x