已知f(x)=a-2/(2^x+1)是R上的奇函数(1)求a的值,(2)证明,函数f(x)在R上是增函数
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/08 18:40:14
已知f(x)=a-2/(2^x+1)是R上的奇函数(1)求a的值,(2)证明,函数f(x)在R上是增函数
f(x)=a-2/(2^x+1)
f(-x)=a-2/(2^-x+1)=a-2^(x+1)/(2^x+1)
∵f(x)是R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)
即:a-2/2^x+1=-a+2^(x+1)/(2^x+1)
2a=2^(x+1)/(2^x+1)+2/(2^x+1)=2(2^x+1)/(2^x+1)=2
a=1
∴f(x)=1-2/(2^x+1)
令x1>x2
f(x1)-f(x2)=[1-2/(2^x+1)]-[1-2/(2^x+1)]
=1-2/(2^x1+1)-1+2/(2^x2+1)
=2/(2^x2+1)-2/(2^x1+1)
=[2(2^x1+1)+2(2^x2+1)]/(2^x1+1)(2^x2+1)
在R上,2^x>0
∴2^x1+1>0 2^x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)在R上是增函数
f(-x)=a-2/(2^-x+1)=a-2^(x+1)/(2^x+1)
∵f(x)是R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)
即:a-2/2^x+1=-a+2^(x+1)/(2^x+1)
2a=2^(x+1)/(2^x+1)+2/(2^x+1)=2(2^x+1)/(2^x+1)=2
a=1
∴f(x)=1-2/(2^x+1)
令x1>x2
f(x1)-f(x2)=[1-2/(2^x+1)]-[1-2/(2^x+1)]
=1-2/(2^x1+1)-1+2/(2^x2+1)
=2/(2^x2+1)-2/(2^x1+1)
=[2(2^x1+1)+2(2^x2+1)]/(2^x1+1)(2^x2+1)
在R上,2^x>0
∴2^x1+1>0 2^x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)在R上是增函数
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