如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 17:40:41

如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．设直线l的运动时间为t秒．

（1）填空：当t=1时，⊙P的半径为______，OA=______，OB=______；
（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形．
①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）
②当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断△DAC的形状，并说明理由．

（1）
2，OA=2，OB=2； …（3分）
（2）①符合条件的点C有3个，如图1．
连接PA，∵∠AOB=90°，由圆周角定理可知，AB为圆的直径，点A、P、B共线．
∵圆心P在直线y=x上，∴∠POA=∠POB=45°，
又∵PO=PA=PB，∴△POB与△POA均为等腰直角三角形．
设动直线l与x轴交于点E，则有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）．
∵OBPC₁为平行四边形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，
∴C₁（t，3t）；
同理可求得：C₃（t，-t）；
∵OPBC₂为平行四边形，且PB=PO，∠OPB=90°，
∴▱OPBC₂为正方形，其对角线OB位于y轴上，则点P与点C₂关于x轴对称，

∴C₂（-t，t）；
∴符合条件的点C有3个，分别为C₁（t，3t）、C₂（-t，t）、C₃（t，-t）；…（7分）
②△DAC是等腰直角三角形．理由如下：
当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，点C的坐标为（t，3t），由点P坐标为（t，t），点A坐标为（2t，0），点B坐标为（0，2t），
可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形，
又PO=PB，进而可得△OPB也是等腰直角三角形，则∠POB=∠PBO=45°．
∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴A、P、B三点共线，
又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°，
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°，

∴AC为⊙Q的直径，∴DA⊥DC…（9分）
∴∠CDE+∠ADO=90°
过点C作CE⊥y轴于点E，则有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE，
∴Rt△DCE∽Rt△ADO，
∴
EC
OD＝
DE
AO，即
t
OD＝
3t−OD
2t，
解得OD=t或OD=2t
依题意，点D与点B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t，
∴
EC
OD＝1，即相似比为1，此时两个三角形全等，则DC=AD，
∴△DAC是等腰直角三角形．…（11分）
当点C在第二象限时，如图3，同上可证△DAC也是等腰直角三角形． …（12分）
综上所述，当点C在直线y=x上方时，△DAC必为等腰直角三角形．…（13分）