在导数的定义中,说在包含x0的某个区间有定义,可x0+d不一定有定义呀?为什么还可求[f(x0+d)-f(x0)]/d在

在导数的定义中,说在包含x0的某个区间有定义,可x0+d不一定有定义呀?为什么还可求[f(x0+d)-f(x0)]/d在
d趋于0时的极值?

我们求的是[f(x0+d)-f(x0)]/d在d→0时的极限.
既然在包含x0的某个邻域内有定义.那么当在d接近于0的一个范围内,f(x0+d)必然有定义.如果无论d取多么小的值,都使得f(x0+d)在d→0的过程中可能无定义,也就是说f（x）在（x0-d,x0+d）的区间内部全部有定义.那么就不符合包含x0的某个区间有定义的条件了.
再问： 你好，“如果无论d取多么小的值，都使得f(x0+d)在d→0的过程中可能无定义，也就是说f（x）在（x0-d，x0+d）的区间内部全部有定义。那么就不符合包含x0的某个区间有定义的条件了。”什么意思？这段读不懂哦。
再答： 既然包含x0的某个区间有定义。那么在设这个区间的两个端点分别是a、b，区间是（a，b）（闭区间也可以）。那么我们取m小于|a-x0|和|b-x0|两个差值中较小的一个，那么在d＜m的情况下，d→0的整个过程中，f(x0+d)都包含在（a，b）区间内。所以始终f(x0+d)都有定义。毕竟我们是求d→0的极限。所以无需要求d要取很大的值，只要d很小的时候，始终有定义就行了。
再问： 你好，“那么我们取m小于|a-x0|和|b-x0|两个差值中较小的一个，”什么意思，为什么？“那么在d＜m的情况下，d→0的整个过程中，”为什么？
再答： 不是说包含x0的某个区间有定义吗？那么我们假定这个区间是（a，b）（闭区间也可以）。必须满足a＜x0＜b，这个区间才能包含x0。那么x0-a和b-x0这两个差值中（也就是区间两端到x0这点的距离），必然有一个较小的。当然也可能相等。无所谓，相等就让m等于这个相等的差值。不相等，就让m=这两个差值中小的那个。那么当d的绝对值小于m。即-m＜d＜m时，a≤x0-m＜x0+d＜x0+m≤b。所以当d的绝对值小于m时，x0+d始终在（a，b）内，也就是说x0+d在d取0到m这段取值时，都是有定义的。那么就能求d→0时的极限了。至于d的绝对值大于m的那部分。不用理会。因为我们是求d趋近于0时的情况。只要d在0附近有定义就行了。没有要求d要能取全体实数。
再问： 你好，辛苦你了，“必须满足a＜x0＜b，” a≤x0≤b呢？ “必然有一个较小的。当然也可能相等。”为什么？
再答： 如果是a≤x0≤b，那么是闭区间，x0就能取端点，如果是x0=a，那么就只有x≥x0时有定义。这样就只能求右导数。如果x0=b，那么就只有x≤x0是有定义。那么就只能求左导数。这是单边导数。你在导数还没搞清楚之前，就别想着单边导数了。学习得一步步来。 事实上我记得导数的定义中，是说x0的一个邻域。所谓邻域就是x0的左端要有一段区域有定义，x0的右端也要有一段区域有定义，也就是x0只能是某个连续有定义区域中间的点。所以在邻域概念中，x0是不可能等于左右端点的。所以不要随意的更改定义中的字眼。 至于必然有一个较小的。当然也可能相等。，我就一步一步的说吧。设k=x0-a，设l=b-x0。k和l只有两种关系，k=l；那么我们就取m=k=l。k≠l，那么我们就取m等于k和了中较小的那个数。在这样确定了m以后，当d的绝对值＜m时，x0+d必然就在（a，b）内。这能够理解吧？这完全能由不等式求出来。