作业帮在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 05:54:08
在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）
三角形面积=abc/4r r为外接圆半径
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )
=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]
=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab
=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2
=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2
=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2
a,b,c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c
学过柯西不等式的话,更简单
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca）(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )
=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]
=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab
=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2
=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2
=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2
a,b,c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c
学过柯西不等式的话,更简单
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca）(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证
在三角形ABC中,已知2根号2（sin²A-sin²C）=（a-b)sinB,外接圆半径为根号2,求
三角形ABC的三边分别为a等于2,b等于2倍根号2,c等于根号2加根号6,则三角形ABC的外接圆面积
已知三角形ABC的三边长分别为a=2根号5,b=根号13,c=根号61,求三角形ABC的面积.
已知a、b、c为三角形ABC的三边,化简：根号（a+b+c）²+根号（a-b-c）²+根号（a-b+
三角形ABC,角A=60,a,b,c分别为角A,B,C对边,三角形ABC面积为根号3,求外接圆半径
在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c已知C=2,C=π/3（1）若三角形ABC的面积为根号3求a,b
在三角形ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B ,C,已知a=2根号3,b=2,三角形ABC的面积S=根号3,则C
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=根号3a,当c=1,且三角ABC的面积为根号3/4时,求
三角形的三边长为根号a根号b根号c若a^2+b^2=c^2,、abc的形状为（锐角三角形）为什么
三角形ABC中,2根号2 （sin平方A-sin平方C）=（a-b）sinB,它的外接圆半径为根号2
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,内切圆半径记为r,p=1/2（a+b+c）.求证:三角形面积S=rp.
若三角形ABC的三边分别为a,b,c,面积为S,求证：a^2+b^2+c^2大于等于4根号3S