知识回顾
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 16:45:22
有没有办法把高一数学必修一必修二的知识点 答题方法及技巧总结一下 要详细的 考试要考 我没带书 可以么?
解题思路: 此资料是必修1,必修2的知识点,总结的比较详尽,适合复习备考
解题过程:
高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 u 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
B或B
A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
B(或B
A) ③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC ④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A
B(读作‘A交B’),即A
B={x|x
A,且x
B}. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A
B(读作‘A并B’),即A
B ={x|x
A,或x
B}). 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作
,即 CSA=
韦 恩 图 示
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/59/d5930adb86e6bc3c556ede7955cc4662.png)
性 质 A
A=A A
Φ=Φ A
B=B
A A
B
A A
B
B A
A=A A
Φ=A A
B=B
A A
B
A A
B
B (CuA)
(CuB) = Cu (A
B) (CuA)
(CuB) = Cu(A
B) A
(CuA)=U A
(CuA)= Φ. 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x
R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 . 4.设集合A=
,B=
,若A
B,则
的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人, 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)
B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2 作差f(x1)-f(x2); 3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2确定f(-x)与f(x)的关系; 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴
⑵
2.设函数
的定义域为
,则函数
的定义域为_ _ 3.若函数
的定义域为
,则函数
的定义域是 4.函数
,若
,则
= 5.求下列函数的值域: ⑴
⑵
(3)
(4)
6.已知函数
,求函数
,
的解析式 7.已知函数
满足
,则
= 。 8.设
是R上的奇函数,且当
时,
,则当
时
=
在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴
⑵
⑶
10.判断函数
的单调性并证明你的结论. 11.设函数
判断它的奇偶性并且求证:
. 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果
,那么
叫做
的
次方根,其中
>1,且
∈
*. u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
。 当
是奇数时,
,当
是偶数时,
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
,
u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)
·
; (2)
; (3)
. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数
叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
定义域 R 定义域 R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,
值域是
或
;
(2)若
,则
;
取遍所有正数当且仅当
;
(3)对于指数函数
,总有
; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果![](http://img.wesiedu.com/upload/0/07/0072605cbf1b6f5570dd3566eb7ec9f5.png)
,那么数
叫做以
为底
的对数,记作:
(
— 底数,
— 真数,
— 对数式) 说明:1 注意底数的限制
,且
;
2
; 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数
; 2 自然对数:以无理数
为底的对数的对数
. u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ![](http://img.wesiedu.com/upload/3/54/354ebf7411aa894f513ffd737dc01f49.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/3c/03c623b2cfda376b1e7d27575866aed8.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/d9/6d9230b76cdbd14860960abde3743023.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/4e/44e65d71dd266c36f7e3a3a0550e5f25.png)
= N![](http://img.wesiedu.com/upload/8/3b/83b28d0090a345599651ba63f26a1bb7.png)
= b ![](http://img.wesiedu.com/upload/d/bd/dbd3414fccd97aaea5639579ef65eabd.png)
底数
指数 对数 (二)对数的运算性质 如果
,且
,
,
,那么: 1
·![](http://img.wesiedu.com/upload/0/09/0098ba3601e2ac3e80e891d7ff0be58a.png)
+
; 2 ![](http://img.wesiedu.com/upload/5/97/5973990f08bba419ab674d90e636bdbe.png)
-
; 3 ![](http://img.wesiedu.com/upload/f/61/f61dbe91d87227536adf4cde0d92895e.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/c9/bc9f0eeff4f0e818746a28b6e783a0a8.png)
. 注意:换底公式
(
,且
;
,且
;
). 利用换底公式推导下面的结论 (1)
;(2)
. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数
,且
叫做对数函数,其中
是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
,
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制:
,且
. 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
定义域x>0 定义域x>0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ed/6edddf93d40da0bea9f429e77eea661d.png)
的函数称为幂函数,其中
为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
上是增函数.特别地,当
时,幂函数的图象下凸;当
时,幂函数的图象上凸; (3)
时,幂函数的图象在区间
上是减函数.在第一象限内,当
从右边趋向原点时,图象在
轴右方无限地逼近
轴正半轴,当
趋于
时,图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴. 例题: 1. 已知a>0,a
0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算: ①
;②
= ;
= ; ③
= 3.函数y=log
(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍,则a= 5.已知
,(1)求
的定义域(2)求使
的
的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数
,把使
成立的实数
叫做函数
的零点。 2、函数零点的意义:函数
的零点就是方程
实数根,亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标。 即:方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程
的实数根; 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数
. (1)△>0,方程
有两不等实根,二次函数的图象与
轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程
有两相等实根,二次函数的图象与
轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程
无实根,二次函数的图象与
轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 ![](http://img.wesiedu.com/upload/5/5c/55c033bc41f099e057675c58c7a16629.png)
高中数学必修2知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当
时,
; 当
时,
; 当
时,
不存在。 ②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:(1)当
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式:
直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。 ②斜截式:
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:
(
)直线两点
,
④截矩式:
其中直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,即
与
轴、
轴的截距分别为
。 ⑤一般式:
(A,B不全为0) 注意:1各式的适用范围 2特殊的方程如: 平行于x轴的直线:
(b为常数); 平行于y轴的直线:
(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线
(
是不全为0的常数)的直线系:
(C为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k的直线系:
,直线过定点
; (ⅱ)过两条直线
,
的交点的直线系方程为
(
为参数),其中直线
不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当
,
时,
;
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点
相交 交点坐标即方程组
的一组解。 方程组无解
; 方程组有无数解![](http://img.wesiedu.com/upload/b/f2/bf28c56fc32e9dcfa66606652ea3884f.png)
与
重合 (8)两点间距离公式:设
是平面直角坐标系中的两个点, 则
(9)点到直线距离公式:一点
到直线
的距离
(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程
,圆心
,半径为r; (2)一般方程
当
时,方程表示圆,此时圆心为
,半径为
当
时,表示一个点; 当
时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: (1)设直线
,圆
,圆心
到l的距离为
,则有
;
;
(2)设直线
,圆
,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为
,则有
;
;
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式
去解直线与圆相切的问题,其中
表示切点坐标,r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: ①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆
,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当
时两圆外离,此时有公切线四条; 当
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当
时,两圆内含; 当
时,为同心圆。 三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱
或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 ![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ed/fedd4f666d124641aee748fa656192fc.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/86/f86c7c971d862c8cc83a8f382c029982.jpg)
3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/40/940633dc245bce37ba4f5a4ffb01b4af.jpg)
(4)球体的表面积和体积公式:V
=
; S
=
4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内); 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。 ③ 点与平面的关系:点A在平面
内,记作
;点
不在平面
内,记作
点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l; 点A在直线l外,记作A
l; 直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作l
α;直线l不在平面α内,记作l
α。 (2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1:
(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。 符号语言:
公理3的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示:a
α a∩α=A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α∥β 相交——有一条公共直线。α∩β=b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行
线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行
线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为
。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线
,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为
。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为
。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)定义:如图,
是单位正方体.以A为原点, 分别以OD,O
,OB的方向为正方向,建立三条数轴
。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1)O叫做坐标原点 2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组
来表示,有序实数组
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作
(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式:
最终答案:略
解题过程:
高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 u 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:
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![](http://img.wesiedu.com/upload/0/05/0055ee893bc68150c5d802b5bc0b3d2e.png)
(1)在[a,b]上,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/a3/fa37edf152a8d05645150cbf69e824cf.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/d3/ad36c71db274644c148f9dfda2543b60.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/04/60494b441624a45922faa775ca31d9c8.png)
(2)若
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/5d/95d2431daf238f80e497af3f15b871ba.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/bf/bbf4fa0988c0661a663481b35606bb4b.png)
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(3)对于指数函数
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底数
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最终答案:略
回顾初中课本知识,回顾动物和植物的基本特征,思考:
我怎么只喜欢学习新知识,讨厌回顾旧知识.不喜欢复习,该怎么改变
木(2+1+3)=森?的那一页的知识回顾
回顾是什么意思?
中考回顾
只缘感君一回顾,
高一上物理哪本练习含有 【知识回顾】 【新课要点】【例题精析】【课堂练习】【课后作业】【拓展提高】
在学习思想品德的过程中,掌握知识体系、主干知识非常重要,请你回顾所学内容完成九年级知识结构表: 单元 课 课
在学习思想品德的过程中,掌握知识体系、主干知识非常重要,请你回顾所学内容完成九年级知识结构表: 单元 题目 课 &nbs
回顾的意思 回顾的意思回顾的意思
敬爱的老师,回顾现在六年的小学生活,充满着感激之情.是您,象我们传授了各种知识,
联系所学知识,回顾香港,澳门从被侵占到回归祖国的沧桑历史,你能得出怎样的认识