（2014?河东区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/06 00:04:17

（2014?河东区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作

（2014?河东区一模）如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积．

证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁
平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，
∴EG∥D₁F．（3分）
（Ⅱ）如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴

D1E=（2，1，0），

D1F=（0，2，-1）
设平面D₁EGF的法向量为

n=（x，y，z）
则由

n?

D1E=0，和

n?

D1F=0，得