已知椭圆C a2分之x2+b2分之y2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,直线过点(1,2分之根号3)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/19 17:50:03
已知椭圆C a2分之x2+b2分之y2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,直线过点(1,2分之根号3)
(1)球椭圆C的方程
(2)是否存在经过点(-1,2分之一)的直线L,它与椭圆C交于A,B两个不同点,且满足OM=2分之一OA+2分之根号3OB(O为坐标原点)关系的点M也在椭圆C上,如果存在,求出直线L的方程,如果不存在,请说明理由。
(1)球椭圆C的方程
(2)是否存在经过点(-1,2分之一)的直线L,它与椭圆C交于A,B两个不同点,且满足OM=2分之一OA+2分之根号3OB(O为坐标原点)关系的点M也在椭圆C上,如果存在,求出直线L的方程,如果不存在,请说明理由。
(1)∵c/a=√3/2,∴b/a=1/2∴a=2b
椭圆C;x²+4y²=4b²
将(1,√3/2)代入得:b²=1
∴ 椭圆C; x²/4+y²=1
(2)l:y-1/2=k(x+1)与 x²/4+y²=1联立消去y得:
(1+4k²)x²+4k(2k+1)x+(2k+1)²-4=0
(-1,1/2)在椭圆内部,Δ>0必成立
设 A (x1,y1),B(x2,y2)
则 x1+x2=-4k(2k+1)/(1+4k²)
x1x2=[(2k+1)²-4]/(1+4k²)
∴ 向量OM=1/2OA+√3/2OB
=(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
∴M(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
因M在椭圆上,那么
(x1/2+√3x2/2)²+4(1/2y1+√3/2y2)²=4
x₁²/4+ 3x₂²/4+√3/2 x₁x₂+y₁²+3y₂²+2√3y₁y₂-4=0
(x₁²/4+y₁²)+3(x₂²/4+y₂²)+√3/2 *x₁x₂+2√3y₁y₂-4=0
∵ x₁²/4+y₁²=1,x₂²/4+y₂²=1
∴ x₁x₂+4y₁y₂=0
∴x₁x₂+4(kx₁+k+1/2)(kx₂+k+1/2)=0
∴(1+4k²) x₁x₂+2k(2k+1)(x₁+x₂)+(2k+1)²=0
∴ (2k+1)²-2-4k²(2k+1)²/(1+4k²)=0
解得k=1/2
所以符合条件的直线l存在,方程为
x-2y+2=0
椭圆C;x²+4y²=4b²
将(1,√3/2)代入得:b²=1
∴ 椭圆C; x²/4+y²=1
(2)l:y-1/2=k(x+1)与 x²/4+y²=1联立消去y得:
(1+4k²)x²+4k(2k+1)x+(2k+1)²-4=0
(-1,1/2)在椭圆内部,Δ>0必成立
设 A (x1,y1),B(x2,y2)
则 x1+x2=-4k(2k+1)/(1+4k²)
x1x2=[(2k+1)²-4]/(1+4k²)
∴ 向量OM=1/2OA+√3/2OB
=(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
∴M(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
因M在椭圆上,那么
(x1/2+√3x2/2)²+4(1/2y1+√3/2y2)²=4
x₁²/4+ 3x₂²/4+√3/2 x₁x₂+y₁²+3y₂²+2√3y₁y₂-4=0
(x₁²/4+y₁²)+3(x₂²/4+y₂²)+√3/2 *x₁x₂+2√3y₁y₂-4=0
∵ x₁²/4+y₁²=1,x₂²/4+y₂²=1
∴ x₁x₂+4y₁y₂=0
∴x₁x₂+4(kx₁+k+1/2)(kx₂+k+1/2)=0
∴(1+4k²) x₁x₂+2k(2k+1)(x₁+x₂)+(2k+1)²=0
∴ (2k+1)²-2-4k²(2k+1)²/(1+4k²)=0
解得k=1/2
所以符合条件的直线l存在,方程为
x-2y+2=0
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