A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 14:10:07
A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
设x为B的复特征值(复(含实)特征值一定有n个,而且其共轭复数也是其特征值)其共轭复数设为y
p为x的复特征向量,q为p的共轭复向量
Bp=xp,Bq=yq
-yq^Tp=-(Bq)^Tp=(q^TB)p=q^TBp=q^T(Bp)=q^Txp=xq^Tp
故(x+y)q^Tp=0
易证q^Tp不为零,故x+y=0,故特征值的实部均为0.
那么B的特征多项式det(λE-B)=f(λ)的因式一定是λ或是λ^2+c(c>0)的形式出现,故λ>0时f(λ)>0;故λ=0时f(λ)=0;故λ0(这个地方的符号,考虑λ的重数与n同奇数同偶)
detA表示A的行列式.
下面det(E+B)=(-1)^ndet(-E-B)=(-1)^nf(-1)>0
A可逆,detA不为零
考虑到A'^(-1)BA^(-1)也是反对称的
故det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
det(A'A+B)=detA'det(E+A'^(-1)BA^(-1))detA=(detA)^2det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
考虑了很久,其实这道题就是一个正定的加一个非负定的一定是一个非负定的题目.我这样说你估计要受不了.但用线代来证真累.
p为x的复特征向量,q为p的共轭复向量
Bp=xp,Bq=yq
-yq^Tp=-(Bq)^Tp=(q^TB)p=q^TBp=q^T(Bp)=q^Txp=xq^Tp
故(x+y)q^Tp=0
易证q^Tp不为零,故x+y=0,故特征值的实部均为0.
那么B的特征多项式det(λE-B)=f(λ)的因式一定是λ或是λ^2+c(c>0)的形式出现,故λ>0时f(λ)>0;故λ=0时f(λ)=0;故λ0(这个地方的符号,考虑λ的重数与n同奇数同偶)
detA表示A的行列式.
下面det(E+B)=(-1)^ndet(-E-B)=(-1)^nf(-1)>0
A可逆,detA不为零
考虑到A'^(-1)BA^(-1)也是反对称的
故det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
det(A'A+B)=detA'det(E+A'^(-1)BA^(-1))detA=(detA)^2det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
考虑了很久,其实这道题就是一个正定的加一个非负定的一定是一个非负定的题目.我这样说你估计要受不了.但用线代来证真累.
设n阶方阵A,B的乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵
如果A,B是可逆矩阵,证明n阶方阵A,B的乘积AB也为可逆矩阵.
设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明:B的平方为对称矩阵,AB-BA也是对称矩阵
设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA
a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式
设A,B为n阶方阵,已知B的行列式不等于0,A-E可逆且(A-E)的逆矩阵=(B-E)的转置,证明A可逆.急,
线性代数问题.已知n阶方阵A,B,A^2+AB+B^2=0,求证A为可逆矩阵的充要条件是B为可逆矩阵
设n阶方阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵
A,B为N阶反对称矩阵,则AB反对称,证明充要条件为AB=-BA
设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,m>n,证明AB不是可逆矩阵?
设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明:若A+B=AB,则A-E可逆.
求助已知A是n阶正定矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明A-B^2也为正定矩阵.