（2011•河南模拟）已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为S

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/08/23 05:41:13

（2011•河南模拟）已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a

（1）∵函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2
∴f（x）=3x²-2x
∵点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
∴S_n=3n²-2n
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5
当n=1时适合上式
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5
（2）∵an＝
b1
2+
b2
22+
b3
23+…+
bn
2n(n∈N*)
∴an−1＝
b1
2+
b2
22+
b3
23+…+
bn−1
2n−1(n∈N*)
两式相减得
bn
2n＝6
∴b_n=6•2ⁿ（n≥2）
当n=1时，b₁=2
∴T_n=2+6（2²+2³+…+2ⁿ）=3•2ⁿ⁺²-22