已知常数a>0,n为正整数,fn(X)=x^n-(x-a)^n对任意n≥a,证明fn+1`(n+1)＞(n+1)fn`(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 17:04:33

已知常数a>0,n为正整数,fn(X)=x^n-(x-a)^n对任意n≥a,证明fn+1`(n+1)＞(n+1)fn`(n)

原函数fn(x)=x^n-(x-a)^n,求导得
fn'(x)=n[x^(n-1)-(x-a)^(n-1)]=nfn-1(x)
则fn+1'(x)=(n+1)fn(x)
所以fn+1'(n+1)=(n+1)fn(n+1)
因为f1(x)=a＞0,且n为正整数,
所以fn'(x)＞0,即fn(x)是单调增函数
所以fn(n+1)＞fn(n)
故,fn+1'(n+1)=(n+1)fn(n+1)＞(n+1)fn(n) （*）
又因为 fn'(n)=n[n^(n-1)-(n-a)^(n-1)],fn(n)=n^n-(n-a)^n
fn'(n)-fn(n)=(n-a)^n-n*(n-a)^(n-1)=-a(n-a)^(n-1)＜0
所以fn'(n)＜fn(n)
即(n+1)fn(n)＞(n+1)fn'(n)
根据（*）式有
fn+1'(n+1)＞(n+1)fn(n)＞(n+1)fn'(n)
所以fn+1'(n+1)＞(n+1)fn'(n)

已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x²+…+anx^n,fn(-1)=[(-1)^n]*n 已知函数f1(x)=(2x-1)/(x+1) 对于n∈N* 定义fn+1(x)=f1( fn(x)) 求fn(x)解析式高数微分方程问题已知fn（n是下角标）满足f'n（x）+x^（n-1）*e^x,n为正整数且fn（1）=e／n, {an}是等差数列,设fn(x)=a1x a2x^2 ...anx^n,n是正偶数,且已知fn(1)=n^2,fn(-1 若一系列函数{fn(x)}满足f1(x)=cosx,fn+1=f'n(x), 已知函数fn(x)=(1+1/n)x(n属于N)的导函数为f`n(x）（1）比较fn`(0)与1/n的大小 a(n)是等差数列,设f（x)=a(1)x+a(2)x^2+...+a(n)x^n,n是正偶数,且已知fn(1)=n^2 设f1(x)=2/(1+x),定义f(n+1)(x)=f1[fn(x)],an=[fn(0)-1]/[fn(0)+2] 数列{an}（a为正整数）中,a1=a,an+1是函数Fn（x）=1/3x^3-1/2（3an+n^2)x^2+3n^2 设 f(x)=sinx,f1(x)=f'(X),f2(X)=f1'(X).fn+1(X)=fn'(X) n属于N+ 求f 设f(x)＝–2x+2,记f1(x)＝f(x),fn(x)＝f[fn-1(x)],n≥2,n∈N,则函数y＝fn(x)的已知f1(x)=(2x-1)／(x+1),对于n=1,2,…,定义fn+1(x)=f1(fn(x)),若f35(x)=f