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已知函数f(x)=x-c/x+1,其中c为常数,且函数f(x)过原点,证明函数在【0,2】上单增函数?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/05 15:13:00
已知函数f(x)=x-c/x+1,其中c为常数,且函数f(x)过原点,证明函数在【0,2】上单增函数?
若已知函数g(x)=f(e的x次方)-1/3,求g(x)的零点.
∵f(x)过原点
∴f(0)=0,带入f(x)=x-c/x+1得到c=0
∴f(x)=x/x+1,
求其导数得:f′(x)=1/(x+1)^2
∵(x+1)^2恒大于0,所以f′(x)=1/(x+1)^2恒大于0,即函数在【0,2】上是单调增函数.
∵f(x)=x/x+1,而g(x)=f(e的x次方)-1/3
g(x)带入f(x)=x/x+1 得g(x)=e^x/(e^x+1)--1/3.
令g(x)=e^x/(e^x+1)--1/3=0,即3e^x=e^x+1
∴e^x=1/2
即x=In1/2=-In2
综上所述:函数在【0,2】上是单调增函数,g(x)的零点是-In2.