四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 16:35:26

证明：连接AC,AN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN
再问：这是初一的学生，你说的四点共圆还没学过？只学了三角形全等。有其它的解法吗？谢谢!
再答：证明：连接AC 设AC与MN相交于G点过M点作MF//AC 则 ∠BFM=∠BAC=45度又 CN是∠ECD的平分线从而 ∠ECN=45度 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴△FBM也是等腰直角三角形从而 BF=BM 又 AF=AB-BF,MC=BC-BM 而 AB=BC ∴AF=MC ① ∵∠FAM=∠FBAC=90度-∠AMB，∠CMN=180度-∠AMN-∠AMB=180度-90度-∠AMB=90度-∠AMB ∴∠FAM=∠CMN ② 又 ∠BFM=45度=∠FAM+∠AMF,∠ECN=45度=∠CMN+∠MNC 则 ∠AMF=45度-∠FAM, ∠MNC=45度-∠CMN 又 ∠FAM=∠CMN ∴∠AMF=∠MNC ③ 由①②③得 △AFM≌△MNC(角，角，边) ∴AM=MN(全等三角形对应边相等)

1.正方形ABCD中,M为BC的延长线上任意一点,过M作MN垂直于AM交角DCB的外角平分线于N,求证：AM=MN. 如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,MN⊥DM且于∠ABC外角的平分线交于点N,求证：MD=MN 如图,正方形ABCD中,M为BC上的任意一点,AN是∠DAM的平分线,且交DC于N,求证：DN+BM=AM 如图,在正方形ABCD中,M是AB上任意一点,DM垂直MN,MN交角CBE的平分线于N.求证:MD=MN. 如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,CN平分∠DCE,AM⊥NM于M.求证：AM=MN 1.在正方形ABCD中,M是AB上任意一点,DM⊥MN,MN交∠ABC的外角∠CBE的平分线于N. 正方形ABCD中,M为AB上任意一点,DM垂直MN于M,BN平分角CBE,交MN于N,求证MD=NM 如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,M为BC边上任意一点,且∠AMN=60°,MN与CD的交点为N,求证：AM=MN. 已知正方形ABCD中,M为BC上的任意一点,AN是角DAM的角平分线,交DC于N点,求证：DN+BM=AM 已知正方形ABCD,M为Bc上任意一点,AN是角DAM的平形线且交DC于N.求证：Am=BM+DN 已知正方形ABCD,M为BC上任一点,AN是∠DAM的平分线,且交DC于N.求证:DN BM=AM ABCD是正方形,M是BC上任意一点.AN是角DAM的平分线,交DC于N点,求证：DN+BM=AM