作业帮大一数学分析关于一致连续的题目 求高人解答~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 05:13:50
大一数学分析关于一致连续的题目 求高人解答~
f(x)在[0,正无穷)连续,对任意a,方程a=f(x)在[0,正无穷)只有有限个解或无解
证明：(1)如果f(x)在[0,正无穷)有界,则x趋于正无穷时f(x)的极限存在
(2)如果无界,则x趋于正无穷时f(x)趋于正无穷
f(x)在[0,正无穷)连续,对任意a,方程a=f(x)在[0,正无穷)只有有限个解或无解
证明：(1)如果f(x)在[0,正无穷)有界,则x趋于正无穷时f(x)的极限存在
(2)如果无界,则x趋于正无穷时f(x)趋于正无穷
(1)直接用反证法证明 limsup f(x) = liminf f(x),否则a=f(x)可以出现无限多个解.
(2)结论有点问题,应该是lim f(x) = +oo或者lim f(x)=-oo,证法和(1)一样.
再问： 额 lim supf(x)是什么意思？ 是上确界的极限？ 但是上确界是唯一的吧。。
再答： limsup是上极限，当然确实也是上确界的极限，只不过这里的上确界是和区间有关的 x->+oo时的limsup f(x)就是 limsup_{x->+oo} f(x) = lim_{A->+oo} sup{f(x): x>A} = inf sup{f(x): x>A} 不过如果你没有上下极限的概念可能看不懂我的做法。你可以考察f(xn)的极限点，其中子列xn->+oo，验证所有的f(xn)的极限必须存在且相等。
再问： 噢~这样的啊 谢谢了~
(2)结论有点问题,应该是lim f(x) = +oo或者lim f(x)=-oo,证法和(1)一样.
再问： 额 lim supf(x)是什么意思？ 是上确界的极限？ 但是上确界是唯一的吧。。
再答： limsup是上极限，当然确实也是上确界的极限，只不过这里的上确界是和区间有关的 x->+oo时的limsup f(x)就是 limsup_{x->+oo} f(x) = lim_{A->+oo} sup{f(x): x>A} = inf sup{f(x): x>A} 不过如果你没有上下极限的概念可能看不懂我的做法。你可以考察f(xn)的极限点，其中子列xn->+oo，验证所有的f(xn)的极限必须存在且相等。
再问： 噢~这样的啊 谢谢了~