请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 13:34:55

请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程
1 试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同
2 求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数.(2)被22除余数为5.(3)它是完全平方数.
3 求证：四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方

1 aabb=m^2
1000a+100a+10b+b=m^2
1100a+11b=m^2
11(100a+b)=m^2
显然100a+b能整除11
11*4^2=176舍
11*5^2=275舍
11*6^2=396舍
11*7^2=539舍
11*8^2=704显然如果a=7,b=4成立
所以这个数是7744=88^2
3 设连续的整数4个数为a,a+1,a+2,a+3
四个连续的整数的积加上1=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
3、设四个连结整数分别为a、a＋1、a＋2、a＋3,则：
a(a＋1)(a＋2)(a＋3)＋1
＝[a(a＋3)][(a＋1)(a＋2)]＋1
＝(a^2＋3a)(a^2＋3a＋2)＋1
＝(a^2＋3a)^2＋2(a^2＋3a)＋1
＝(a^2＋3a＋1)^2
＝[a(a＋3)＋1]^2
由于a与a＋3奇偶性不同,故a(a＋3)是偶数,从而a(a＋3)＋1是奇数所以是奇数平方
2由于所求的数是平方数,故可设所求的数为a^2
∴1000≤a^2≤9999
∴32≤a≤99
设a＝22m＋n(0≤n≤21),则a^2＝484m^2＋44mn＋n^2＝22(22m^2＋2mn)＋n^2,由已知,n^2被22整除余5,满足条件的n只有7或15
n＝7时,a＝22m＋7,得：32≤22m＋7≤99,2≤m≤4
可得a＝51、73、95,相应的四位数为2601、5329、9025
n＝15时,a＝22m＋15,得：32≤22m＋15≤99,1≤m≤3
可得a＝37、59、81,相应的四位数为1369、3481、6561
故所求的自然数有六个：2601、5329、9025、1369、3481、6561

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