1、已知定点A (0,1)B(0,-1)C(1,0)动点P满足向量AP*BP=K|向量PC|2(向量PC的平方)一求动点
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/02 17:06:33
1、已知定点A (0,1)B(0,-1)C(1,0)动点P满足向量AP*BP=K|向量PC|2(向量PC的平方)一求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线2、已知F1、F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,P是椭圆上一点,∠F1PF2=60°.1)求椭圆离心率的范围2)求△PF1F2的面积3、知椭圆X2/a2+y2/b2=1(a>b>0),长轴的俩端点为A、B.如果C上存在一点Q,使∠AQB=120°,求椭圆离心率的取值范围
设P(x,y),
则:向量AP=(x,y-1),向量BP=(x,y+1),向量PC=(1-x,-y)
向量AP·向量BP=(x,y-1)·(x,y+1)=x²+y²-1
|PC|² = (1-x)² + y² = x² + y² - 2x + 1
∴x²+y²-1 = k(x² + y² - 2x + 1)
∴(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² - 1 - k=0
①当k=1时,2kx -1 -k=0,轨迹是直线.
②当k≠1时,
(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x² + 2kx/(1-k)] + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² - k²/(1-k) + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = k + 1 + k²/(1-k)
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = 1/(1-k)
[x + k/(1-k)]² + y² = 1/(1-k)²
轨迹是以( k/(k-1),0)为圆心,1/(1-k)为半径的圆.
2、(1)
椭圆定义:平面上到两定点(焦点)的距离之和为定值(2a)的点的轨迹
设:|PF1|=m,|PF2|=n,
F1F2=2c
则m+n=2a
根据余弦定理,有:
m²+n²-2mncos∠F1PF2=|F1F2|²
即:m²+n²-mn=4c²
(m+n)²-2mn - mn=4c²
4a²-3mn=4c²
∴4a²-4c²=3mn≤3(m+n)²/4 = 3(2a)²/4 = 3a²
∴a²≤4c²
∴c/a≥1/2
∴1/2≤e<1
(2) 这一问是“求证:△F1PF2的面积只与短轴长度有关”吧?
∵4a²-4c²=3mn
∴4b²=3mn
∴mn=4b²/3
∴S=(1/2)mnsin60°= (√3/3)b²
∴△F1PF2的面积只与短轴长度有关
3、
设角AQB为k,Q(m,n)由于对称性,只用考虑n≥0的情况
∵m²/a² + n^2/b^2=1
∴m²=a² - a²n²/b² ①
对△AQB面积,有两种算法,以此建立等式:
(1/2)|AQ|·|BQ|sink=(1/2)·|AB|·n
平方,得:|AQ|²×|BQ|²sin²k = |AB|² n²
把|AQ|、|BQ|、|AB|用m,n表示得到:
[(m+a)²+n²]·[(m-a)²+n²]·sin²k=4a²n²
[(m²-a²)²+n²(2m²+2a²)+n^4]·sin²k=4a²n²
再将①式代入,消去m,有
[(a²-b²)²n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
[c^4·n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
将k=120°代入,
解得n²=(4a²b^4) / (3c^4)
∵n²≤b²
∴(4a²b^4) / (3c^4)≤b²
即4a²b²≤3c^4
再将b²用a²-c²2代替
4a²(a²-c²)≤3c^4
3c^4+4a²c²-4a^4≥0
两边同除a^4
3e^4+4e²-4≥0
2/3≤e²<1
∴e∈[√6/3,1)
则:向量AP=(x,y-1),向量BP=(x,y+1),向量PC=(1-x,-y)
向量AP·向量BP=(x,y-1)·(x,y+1)=x²+y²-1
|PC|² = (1-x)² + y² = x² + y² - 2x + 1
∴x²+y²-1 = k(x² + y² - 2x + 1)
∴(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² - 1 - k=0
①当k=1时,2kx -1 -k=0,轨迹是直线.
②当k≠1时,
(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x² + 2kx/(1-k)] + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² - k²/(1-k) + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = k + 1 + k²/(1-k)
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = 1/(1-k)
[x + k/(1-k)]² + y² = 1/(1-k)²
轨迹是以( k/(k-1),0)为圆心,1/(1-k)为半径的圆.
2、(1)
椭圆定义:平面上到两定点(焦点)的距离之和为定值(2a)的点的轨迹
设:|PF1|=m,|PF2|=n,
F1F2=2c
则m+n=2a
根据余弦定理,有:
m²+n²-2mncos∠F1PF2=|F1F2|²
即:m²+n²-mn=4c²
(m+n)²-2mn - mn=4c²
4a²-3mn=4c²
∴4a²-4c²=3mn≤3(m+n)²/4 = 3(2a)²/4 = 3a²
∴a²≤4c²
∴c/a≥1/2
∴1/2≤e<1
(2) 这一问是“求证:△F1PF2的面积只与短轴长度有关”吧?
∵4a²-4c²=3mn
∴4b²=3mn
∴mn=4b²/3
∴S=(1/2)mnsin60°= (√3/3)b²
∴△F1PF2的面积只与短轴长度有关
3、
设角AQB为k,Q(m,n)由于对称性,只用考虑n≥0的情况
∵m²/a² + n^2/b^2=1
∴m²=a² - a²n²/b² ①
对△AQB面积,有两种算法,以此建立等式:
(1/2)|AQ|·|BQ|sink=(1/2)·|AB|·n
平方,得:|AQ|²×|BQ|²sin²k = |AB|² n²
把|AQ|、|BQ|、|AB|用m,n表示得到:
[(m+a)²+n²]·[(m-a)²+n²]·sin²k=4a²n²
[(m²-a²)²+n²(2m²+2a²)+n^4]·sin²k=4a²n²
再将①式代入,消去m,有
[(a²-b²)²n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
[c^4·n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
将k=120°代入,
解得n²=(4a²b^4) / (3c^4)
∵n²≤b²
∴(4a²b^4) / (3c^4)≤b²
即4a²b²≤3c^4
再将b²用a²-c²2代替
4a²(a²-c²)≤3c^4
3c^4+4a²c²-4a^4≥0
两边同除a^4
3e^4+4e²-4≥0
2/3≤e²<1
∴e∈[√6/3,1)
已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
1,已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量PB=k*向量|pc|*向量|pc|.
圆与向量已知定点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),动点P满足向量AP*向量BP=K*(绝对值向量PC)^2.当
高二上期期末数学题1.已知A(0,1)B(0,-1)C(1,0)与动点P满足 AP向量乘以BP向量=K倍PC向量的平方(
圆锥曲线中的最值问题已知定点A(0,1) B(0,-1) C(1,0),动点P满足"向量AP*向量BP=k*向量CP绝对
已知A(-1.o),B(1.0),c(1/2.0),a大于b 大于0,动点p满向量PA×向量PC+向量PB×向量Pc=0
已知点A(4,0)B(1,0),动点P满足向量AB*向量AP=向量PB的模,求P的轨迹C的方程
已知平面直角坐标系内两点A(-1,0),B(1,0),点P使向量AB*向量AP,向量PA*向量PB,向量BA*向量BP成
已知平面上三点A(-1,3),B(3,-4)C(-1,2),点p满足向量BP=3/2向量BC,则直线AP的方程为
在三角形ABC中,M是BC的中心,AM=1,点P在AM上且满足向量AP=2向量PM,则向量AP×(向量PB+向量PC)=
在三角形ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足向量AP=2向量PM,求向量AP*(向量PB+向量PC)
已知定点A(4,0),B为圆x^2+y^2=4上的一个动点,点P满足AP向量=2PB向量,求点P的轨迹方程