三等分角证明如图 ,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上,边 OA于函数y=1/x的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/31 04:39:33

三等分角证明
如图 ,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上,边 OA于函数y=1/x的图像交于点P,以P为圆心,以2OP为半径,交图像与R点,分别过点P和R作x轴、y轴的平行线,两直线交于M点,连结OM,则∠MOB=1/3∠AOB,你能证明吗?

首先证明函数y = 1/x的图像具有如下性质:
对第一象限中图像上的任意两点P,R.
以P,R为一对相对顶点,作边与坐标轴平行的矩形PMRQ,则O,Q,M三点共线.
证明很简单,设P,R的横坐标分别为a,b.
由P,R在y = 1/x的图像上,可知二者坐标分别为P(a,1/a),R(b,1/b).
于是Q,M的坐标分别为Q(a,1/b)和M(b,1/a).
易见O,Q,M都在一次函数y = x/(ab)的图像上,即三点共线.
回到原题.
设OM与PR的交点为S,由O,Q,M共线,可知S为矩形PMRQ的对角线交点.
于是PS = MS = RS = QS.
由△PSM为等腰三角形,有∠PSO = 2∠PMS.
又PS = RS = PR/2 = OP,有△OPS为等腰三角形,∠POS = ∠PSO = 2∠PMS.
再由PM // OB,∠PMS = ∠MOB.
综合得∠AOB = ∠POS+∠MOB = 2∠PMS+∠MOB = 3∠MOB.
即∠MOB = 1/3·∠AOB.
另外也有硬算方法.
设M的坐标为(c,d),易得P,R坐标分别为P(1/d,d),R(c,1/c).
由PR = 2OP,有(c-1/d)²+(1/c-d)² = PR² = 4OP² = 4/d²+4d².
移项用平方差公式得(c+1/d)(c-3/d)+(1/c+d)(1/c-3d) = 0.
去分母得c²(1+cd)(cd-3)+d²(1+cd)(1-3cd) = 0.
而c,d > 0,故1+cd ≠ 0,有c²(cd-3)+d²(1-3cd) = 0,即cd(c²-3d²) = 3c²-d² ①.
由正切二倍角公式tan(2θ) = 2tan(θ)/(1-tan²(θ)),
再由正切和角公式得tan(3θ) = (tan(θ)+tan(2θ))/(1-tan(θ)tan(2θ))
= (tan(θ)+2tan(θ)/(1-tan²(θ)))/(1-2tan²(θ)/(1-tan²(θ)))
= tan(θ)(3-tan²(θ))/(1-3tan²(θ)),即得正切三倍角公式.
代入tan(∠MOB) = d/c得:tan(3∠MOB) = d/c·(3-d²/c²)/(1-3d²/c²)
= d/c·(3c²-d²)/(c²-3d²)
= d/c·cd(c²-3d²)/(c²-3d²) (将①代入)
= d².
而tan(∠AOB) = d².
∠AOB是锐角,又易得c > d,有∠MOB < π/4,0 < 3∠MOB < π.
于是由tan(∠AOB) = tan(3∠MOB)可得∠AOB = 3∠MOB,即∠MOB = 1/3·∠AOB.