高一不等式题设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小公比是
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 10:22:21
高一不等式题
设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小
公比是什么?没教过,望详解
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/55/e557bd02e06814eb4b369e441c90f971.jpg)
设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小
公比是什么?没教过,望详解
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方法1.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{[b^(n-1)-a^(n-1)]/(b-a)}*{[b^n-a^n]/(b-a)}
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{a^(n-2)[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{a^(n-1)[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
不难看出kn=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]≥0,a=b时取等号,
cn=kn*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}分别为首项为1公比为b/a的第n-1项、第n项之和.
首项和公比都大于0,则和必定大于0,所以
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}>0和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}>0
所以cn≥0
所以b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
a=b时取等号.
方法2.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]
显然a^(n-1)/b^n>0
(1)
当[b/a]^(n-1)-1≥0时,[b/a]^(n-1)≥1
b/a≥1,a=b时取等号,
(b/a)^n≥1
(b/a)^n-1≥0
{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]≥0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]≥0
cn≥0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
(2)
当[b/a]^(n-1)-1<0时,[b/a]^(n-1)<1
b/a<1
(b/a)^n<1
(b/a)^n-1<0
{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]<0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]>0
cn>0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>1/a+1/b
根据(1)(2)得b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b,a=b时取等号.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{[b^(n-1)-a^(n-1)]/(b-a)}*{[b^n-a^n]/(b-a)}
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{a^(n-2)[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{a^(n-1)[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
不难看出kn=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]≥0,a=b时取等号,
cn=kn*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}分别为首项为1公比为b/a的第n-1项、第n项之和.
首项和公比都大于0,则和必定大于0,所以
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}>0和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}>0
所以cn≥0
所以b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
a=b时取等号.
方法2.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]
显然a^(n-1)/b^n>0
(1)
当[b/a]^(n-1)-1≥0时,[b/a]^(n-1)≥1
b/a≥1,a=b时取等号,
(b/a)^n≥1
(b/a)^n-1≥0
{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]≥0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]≥0
cn≥0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
(2)
当[b/a]^(n-1)-1<0时,[b/a]^(n-1)<1
b/a<1
(b/a)^n<1
(b/a)^n-1<0
{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]<0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[(b/a)^n-1]>0
cn>0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>1/a+1/b
根据(1)(2)得b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b,a=b时取等号.
比较a=根号n+根号n+2与 b=2√n+1的大小,n属于N+
(数列)A(n)=(n+2)/2^n;B(n)=(6n+11)/5(n+1)试比较A(n)与B(n)大小(n∈N*)不好
已知Un=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+...+ab^(n-1)+b^n(n∈N*,a>0,b>0),
设a、b、m、n∈R+,且m+n=1,试比较根号ma+nb与m根号a+n根号b的大小
指数函数比较大小设A=a^m+a^-m,B=a^n+a^-n(m>n>0,a>0且a≠1),试比较A与B的大小
1.S=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+ab^(n-1)+b^n(n∈N*,ab≠0)
a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数
设bn=(n-1)/(an-2),(n大于等于2),an=n^a-n+2,且b(n+1)+b(n+2)+...b(2n+
设a=√n+1-√n,b=√n+2-√n+1,其中n为正自然数,则a,b的大小关系是
已知cn=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2...+b^n(n∈N*,a>0,b>0)
高等数学不等式证明设a>b>0,n>1,证明nb^n-1(a-b)
设a+b>0a≠b,n∈N,n≥2,用数学归纳法证明(a+b/2)^n<(a^n+b^n)/2