作业帮已知函数f（x）=x3-3x；
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 23:53:38
已知函数f（x）=x3-3x；
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值．
（I）∵f（x）=x3-3x，
∴f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若 x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
若 x∈（-1，1），则f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数；
（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴当x=-3时，f（x）在区间[-3，2]取到最小值为-18．
∴当x=-1或2时，f（x）在区间[-3，2]取到最大值为2．
∴f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若 x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
若 x∈（-1，1），则f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数；
（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴当x=-3时，f（x）在区间[-3，2]取到最小值为-18．
∴当x=-1或2时，f（x）在区间[-3，2]取到最大值为2．