作业帮一道椭圆与双曲线的数学题!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 09:14:32
一道椭圆与双曲线的数学题!
已知椭圆x^2/a1^2+y^2/b1^2=1(a1>b1>0)与双曲线x^2/a2^2-y^2/b2^2=1(a2>0,b2>0)有公共焦点F1,F2.设P是他们的一个交点.
(1)试用b1,b2表示三角形F1PF2的面积
(2)当b1+b2=m(m>0)是常数时.求三角形F1PF2的面积的最大值.
【重要的是第二题,第一小问已经会了,
我们老师说用不等式来解
已知椭圆x^2/a1^2+y^2/b1^2=1(a1>b1>0)与双曲线x^2/a2^2-y^2/b2^2=1(a2>0,b2>0)有公共焦点F1,F2.设P是他们的一个交点.
(1)试用b1,b2表示三角形F1PF2的面积
(2)当b1+b2=m(m>0)是常数时.求三角形F1PF2的面积的最大值.
【重要的是第二题,第一小问已经会了,
我们老师说用不等式来解
设∠F1PF2=θ,当PF1+PF2=2a1时,则
F1F2 ^2=PF1^2+PF2^2-2PF1·PF2cosθ,
即2PF1·PF2cosθ=(PF1+PF2)^2-2PF1·PF2-4c^2=4a1^2-2PF1·PF2-4c^2
∴PF1·PF2=2b1^2/(1+cosθ),
∴S△F1PF2=1/2×PF1·PF2sinθ=b1^2sinθ/(1+cosθ),
当PF1-PF2=2a2时,则
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1·PF2cosθ,
即2PF1·PF2cosθ=(PF1-PF2)^2+2PF1·PF2-4c^2=4a2^2+2PF1·PF2-4c^2
∴PF1·PF2=2b2^2/(1-cosθ),
∴S△F1PF2=1/2×PF1·PF2sinθ= b2^2sinθ/(1-cosθ),
(S△F1PF2)^2=b1^2sinθ/(1+cosθ)×b2^2sinθ/(1-cosθ)= b1^2×b2^2
∴S△F1PF2=b1b2.
(2)当b1+b2=m时有m=b1+b2>=2根号b1b2
即有b1b2
F1F2 ^2=PF1^2+PF2^2-2PF1·PF2cosθ,
即2PF1·PF2cosθ=(PF1+PF2)^2-2PF1·PF2-4c^2=4a1^2-2PF1·PF2-4c^2
∴PF1·PF2=2b1^2/(1+cosθ),
∴S△F1PF2=1/2×PF1·PF2sinθ=b1^2sinθ/(1+cosθ),
当PF1-PF2=2a2时,则
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1·PF2cosθ,
即2PF1·PF2cosθ=(PF1-PF2)^2+2PF1·PF2-4c^2=4a2^2+2PF1·PF2-4c^2
∴PF1·PF2=2b2^2/(1-cosθ),
∴S△F1PF2=1/2×PF1·PF2sinθ= b2^2sinθ/(1-cosθ),
(S△F1PF2)^2=b1^2sinθ/(1+cosθ)×b2^2sinθ/(1-cosθ)= b1^2×b2^2
∴S△F1PF2=b1b2.
(2)当b1+b2=m时有m=b1+b2>=2根号b1b2
即有b1b2