作业帮《线性代数》作业证明题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 10:04:41
《线性代数》作业证明题
如果向量组α1,α2,……,αs线性无关,试证：向量组α1,α1+ α2,……,α1+ α2 +……+αs线性无关.
如果向量组α1,α2,……,αs线性无关,试证：向量组α1,α1+ α2,……,α1+ α2 +……+αs线性无关.
设k1α1+k2(α1+α2)+...+ks(α1+ α2 +……+αs)=0,打开括号,合并得
(k1+k2+...+ks)α1+(k2+k3+...+ks) α2 +……+ksαs=0,由条件得
k1+k2+.+ks=0,
k2+k3+...+ks=0,
.
ks=0,
从最后一个方程开始回代逐步得到
ks=0,k(s-1)=0,.,k2=0,k1=0,因此
结论成立.
再问： 若按这种方法，“则有”后面咋补充？ 设β1=α1,β2=α1+α2,...,βs=α1+α2+...+αs,则 （β1,β2...βs)=(α1+α2+α3)(1 1 1 ... 1) 0 1 1 ... 1 0 0 1 ... 1 ... ... ... ... ... 0 0 0 0 1 取任意线性组合，k1β1+k2β2+...+ksβs=0,则有
再答： 这么做不用取线性组合了，直接因为 那个数字矩阵的行列式是1，因此 两个向量组等价，秩相等，都是s， 因此b的那个向量组是无关的。
再问： 意思是则有后面直接写 因为数字阵矩的行列是1..这样么?
再答： 就把我写的写上就可以了。 这都是定理。
(k1+k2+...+ks)α1+(k2+k3+...+ks) α2 +……+ksαs=0,由条件得
k1+k2+.+ks=0,
k2+k3+...+ks=0,
.
ks=0,
从最后一个方程开始回代逐步得到
ks=0,k(s-1)=0,.,k2=0,k1=0,因此
结论成立.
再问： 若按这种方法，“则有”后面咋补充？ 设β1=α1,β2=α1+α2,...,βs=α1+α2+...+αs,则 （β1,β2...βs)=(α1+α2+α3)(1 1 1 ... 1) 0 1 1 ... 1 0 0 1 ... 1 ... ... ... ... ... 0 0 0 0 1 取任意线性组合，k1β1+k2β2+...+ksβs=0,则有
再答： 这么做不用取线性组合了，直接因为 那个数字矩阵的行列式是1，因此 两个向量组等价，秩相等，都是s， 因此b的那个向量组是无关的。
再问： 意思是则有后面直接写 因为数字阵矩的行列是1..这样么?
再答： 就把我写的写上就可以了。 这都是定理。