已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/26 17:07:28

已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板

的另一条直角边与AD交于点Q．
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）．
（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ？请证明你的结论．
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ？并写出论证的过程．

（1）△APQ∽△BCP．（答案不唯一）
（2）当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ．
证明：连接CQ，延长QP，交CB的延长线于点E．
可证△APQ≌△BPE．
则AQ=BE，PQ=PE．
又因为CP⊥QE，可得CQ=CE，
所以AQ+BC=CQ．
（3）当AQ＝
2
9AD时，有PC=3PQ．
证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB．
又因为直角三角板的顶点P在边AB上，
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°．
因为Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，
所以∠1=∠3．
所以△APQ∽△BCP．
所以
PQ
PC＝
AQ
BP＝
AP
BC．因为AQ＝
2
9AD＝
2
9AB，
所以

2
9AB
AB−AP＝
AP
AB．所以AP＝
1
3AB，或AP＝
2
3AB（不合题意，舍去）．
所以
PQ
PC＝
AP
BC＝
AP
AB＝
1
3．
所以PC=3PQ．