在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/19 06:15:39

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y²=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．
（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x₀，y₀）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

（本题满分14分）
（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0），
在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．
∴抛物线准线方程是x＝−
p
2，…（1分）
2+
p
2＝3，解得p=2…（3分）
∴抛物线的方程是y²=4x．…（4分）
（2）设Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2＝4x
y＝k(x+1)，得ky²-4y+4k=0，…（6分）
由

k≠0
16−16k2＞0，得-1＜k＜1且k≠0…（8分）
y1+y2＝
4
k，y₁y₂=4…（9分）
kQA＝
y0−y1
x0−x1＝
y0−y1

y02
4−
y12
4＝
4
y0+y1，
同理kQB＝
4
y0

：在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0),在此抛物线上一点M(2,m)到焦点的距离是3, （2014•赤峰模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OF 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（2014•淮安模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y²=2px(p＞0）的焦点是F,过抛物线的准线与x轴焦点的直线抛物线y2=2px（p＞0）上有一点M（m，3）到抛物线焦点的距离为5，则p的值是（　　）（2014•河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内已知抛物线的方程为y2=2px（p＞0），且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2，若点M在此抛物线上运动，点N与点M关于点已知抛物线C:y^2=2px上一点p(4,m)到其焦点F的距离为5,求实数m和p.已知点Q（3,0）,点A在抛物线上,问在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为15，则线段PF的长为 ___ ．已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4.(I)求抛物线的方程;( 已知抛物线y2=2px(p>0),点M(4,m)在抛物线上,若点M到抛物线焦点的距离为6.求抛物线方程及实数m的值