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线性代数 合同的问题n元二次型x^TAx正定的充分必要条件.a,存在正交矩阵P,P^TAP=E c,A与单位矩阵合同d,

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 01:35:05
线性代数 合同的问题
n元二次型x^TAx正定的充分必要条件.
a,存在正交矩阵P,P^TAP=E
c,A与单位矩阵合同
d,存在n阶可逆矩阵C,使A=C^TC.
我想问a,c的区别在什么地方,d是必要条件对么?
记号简明起见, 用P'表示P的转置.
另外以下讨论中的所有矩阵都为实矩阵.
a. "正交矩阵"这个限制太强了, 合同只需要P可逆就够了.
实际上若P是正交矩阵, 有PP' = P'P = E.
于是由P'AP = E可得A = PP'APP' = PEP' = PP' = E.
即只有单位阵满足要求.
c和d其实是等价的:
若A与单位阵合同, 即存在可逆矩阵P, 使P'AP = E.
取C = P^(-1), 则PC = E, C'P' = (PC)' = E' = E.
于是A = C'P'APC = C'EC = C'C.
反过来, 若存在可逆矩阵C使得A = C'C, 取P = C^(-1).
可得P'AP = P'C'CP = (CP)'CP = E, 即A合同于单位阵.
c, d都是A正定的充要条件.
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