如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 12:38:58
如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线 经过A、C两点,与x轴的另一个交点是点D,连接BD. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标; (3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值. |
(1)∵矩形ABCD,B(5,3),∴A(5,0),C(0,3)。
∵点A(5,0),C(0,3)在抛物线 上,
∴ ,解得: 。
∴抛物线的解析式为: 。
(2)∵ ,
∴抛物线的对称轴为直线x=3。
如答图1所示,设对称轴与BD交于点G,与x轴交于点H,则H(3,0)。
令y=0,即 ,解得x=1或x=5。
∴D(1,0)。∴DH=2,AH=2,AD=4。
∵ ,∴GH=DH?tan∠ADB=2× = 。
∴G(3, )。
∵S △ MBD =6,即S △ MDG +S △ MBG =6,∴ MG?DH+ MG?AH=6,即: MG×2+ MG×2=6。
解得:MG=3。
∴点M的坐标为(3, )或(3, )。
(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,则BD=5,∴sinB= ,cosB= 。
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则:
①若PD=PQ,如答图2所示,
此时有PD=PQ=BQ=t,过点Q作QE⊥BD于点E,
则BE=PE,BE=BQ?cosB= t,QE=BQ?sinB= t,
∴DE=t+ t= t。
由勾股定理得:DQ 2 =DE 2 +QE 2 =AD 2 +AQ 2 ,
即( t) 2 +( t) 2 =4 2 +(3﹣t) 2 ,整理得:11t 2 +6t﹣25=0,
解得:t= 或t=﹣5(舍去)。
∴t= 。
②若PD=DQ,如答图3所示,
此时PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,
∴t=7﹣t。∴t= 。
③若PQ=DQ,如答图4所示,
∵PD=t,∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3。
过点P作PF⊥AB于点F,
则PF=PB?sinB=(5﹣t)× =4﹣ t,BF=PB?cosB=(5﹣t)× =3﹣ t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣ t)= t。
过点P作PE⊥AD于点E,则PEAF为矩形,
∴PE=AF= t,AE=PF=4﹣ t。∴EQ=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣ t)=
∵点A(5,0),C(0,3)在抛物线 上,
∴ ,解得: 。
∴抛物线的解析式为: 。
(2)∵ ,
∴抛物线的对称轴为直线x=3。
如答图1所示,设对称轴与BD交于点G,与x轴交于点H,则H(3,0)。
令y=0,即 ,解得x=1或x=5。
∴D(1,0)。∴DH=2,AH=2,AD=4。
∵ ,∴GH=DH?tan∠ADB=2× = 。
∴G(3, )。
∵S △ MBD =6,即S △ MDG +S △ MBG =6,∴ MG?DH+ MG?AH=6,即: MG×2+ MG×2=6。
解得:MG=3。
∴点M的坐标为(3, )或(3, )。
(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,则BD=5,∴sinB= ,cosB= 。
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则:
①若PD=PQ,如答图2所示,
此时有PD=PQ=BQ=t,过点Q作QE⊥BD于点E,
则BE=PE,BE=BQ?cosB= t,QE=BQ?sinB= t,
∴DE=t+ t= t。
由勾股定理得:DQ 2 =DE 2 +QE 2 =AD 2 +AQ 2 ,
即( t) 2 +( t) 2 =4 2 +(3﹣t) 2 ,整理得:11t 2 +6t﹣25=0,
解得:t= 或t=﹣5(舍去)。
∴t= 。
②若PD=DQ,如答图3所示,
此时PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,
∴t=7﹣t。∴t= 。
③若PQ=DQ,如答图4所示,
∵PD=t,∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3。
过点P作PF⊥AB于点F,
则PF=PB?sinB=(5﹣t)× =4﹣ t,BF=PB?cosB=(5﹣t)× =3﹣ t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣ t)= t。
过点P作PE⊥AD于点E,则PEAF为矩形,
∴PE=AF= t,AE=PF=4﹣ t。∴EQ=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣ t)=
如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3)
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