抛物线C1:y1=x^2+2x和C2:y2=-x^2+a,若直线l同时是C1和C2的公切线.当a取什么值时,C1和C2有
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 16:01:18
抛物线C1:y1=x^2+2x和C2:y2=-x^2+a,若直线l同时是C1和C2的公切线.当a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切
a取什么值时,C1和C2有且仅有1条公切线。求出其方程。
a取什么值时,C1和C2有且仅有1条公切线。求出其方程。
C1开口向上,以(-1,-1)为顶点
C2开口向下,以(0,a)为顶点
做图,可知C1,C2公切线有两条,斜率一为正一为负(有可能俩正).
要求仅有一条公切线,则两公切线重合,两抛物线相切.
即两抛物线有且仅有一个交点.
即 方程 Y=X²+2X=-X²+A 中,X有且仅有一个解.
2X²+2X=A
X²+X+1/4=A/2+1/4
(X+1/2)²=(2A+1)/4
有且仅有一个解,则(X+1/2)²=(2A+1)/4=0 A=-1/2
即A=-1/2时,两抛物线有且仅有一条公切.
设切线为Y=BX+C
与两曲线有只有一个交点,
BX+C=X²+2X
BX+C=-X²-1/2
都只有一个解
有
[X+(2-B)/2]²=C+(2-B)²/4=0
[X+B/2]²=-1/2-C+B²/4=0
C=-(2-B)²/4=B²/4-1/2, 中 ,B只有一个解
-B²+4B-4=B²-2; 2B²-4B+2=0; 2[B-1]²=0, B=1
C=-1/4
切线方程为Y=X-1/4
C2开口向下,以(0,a)为顶点
做图,可知C1,C2公切线有两条,斜率一为正一为负(有可能俩正).
要求仅有一条公切线,则两公切线重合,两抛物线相切.
即两抛物线有且仅有一个交点.
即 方程 Y=X²+2X=-X²+A 中,X有且仅有一个解.
2X²+2X=A
X²+X+1/4=A/2+1/4
(X+1/2)²=(2A+1)/4
有且仅有一个解,则(X+1/2)²=(2A+1)/4=0 A=-1/2
即A=-1/2时,两抛物线有且仅有一条公切.
设切线为Y=BX+C
与两曲线有只有一个交点,
BX+C=X²+2X
BX+C=-X²-1/2
都只有一个解
有
[X+(2-B)/2]²=C+(2-B)²/4=0
[X+B/2]²=-1/2-C+B²/4=0
C=-(2-B)²/4=B²/4-1/2, 中 ,B只有一个解
-B²+4B-4=B²-2; 2B²-4B+2=0; 2[B-1]²=0, B=1
C=-1/4
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