（2011•白云区一模）已知关于x的二次函数y=x2+（2k-1）x+k2-1．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 22:59:55

（2011•白云区一模）已知关于x的二次函数y=x²+（2k-1）x+k²-1．
（1）若关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐标系（如图）中画出函数y=x²+（2k-1）x+k²-1的大致图象；
（2）在（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角△AMB的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）、（2）条件下，若P点是二次函图象上的点，且∠PAM=90°，求△APM的面积．

（1）∵所给一元二次方程有解，
∴根的判别式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤
5
4；
设方程的两个根分别为x₁、x₂，
则x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分别代入上式，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤
5
4，
∴k=-1．
代入函数式中，得y=x²-3x，
配方可得y=(x−
3
2)2−
9
4，
即抛物线的对称轴为x=
3
2，顶点坐标为D（
3
2，-
9
4），
大致图象如下（如图）；

（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴A（0，0），B（3，0）．
这样的点存在．
其坐标为M（2，-2）．
设M（x_m，y_m），而△AMB是锐角三角形，
故
3
2＜x_m＜3，
∴y_m＜0．故有S_△AMB=
1
2•|AB|•|ym|=
1
2•3•|ym|=3，
∴|y_m|=2，y_m=±2，舍去正值，
∴y_m=-2，
当y_m=-2时，x_m²-3x_m=-2，
解得x_m=1或x_m=2，
∵
3
2＜x_m＜3，
∴x_m=1舍去，而
3
2＜2＜3，
∴x_m=2满足条件，
∴这样的点存在，其坐标为M（2，-2）；

（3）∵M（2，-2），
∴∠MAB=45°，
∴∠BAP=45°，
∴AP所在直线的解析式为：y=x，
∵P也在抛物线上，
∴x²-3x=x，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4，
此时y=4，
∴P（4，4），可求得线段AP长=4
2，线段AM长=2
2，
∴S_△AMP=
1
2•2

已知二次函数y=（k2-1）x2-（3k-1）x+2．（1）二次函数的顶点在x轴上,求k的值；已知函数y=（K-1）x2+（k2+3k-4)x+2是偶函数,求k的值. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0. 已知二次函数y=（k2-1）x2+2kx-4与x轴的一个交点A（-2，0），则k值为（　　）已知二次函数y=x2+(2k-1)x+k2.若函数y=x2+(2k-1)x+k2的图像经过点(-1,2),求k的值. 已知二次函数y=x2-2(k-1)x+k2的图象在x轴上截得的线段的长为 ,则k的值是已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0. 已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+k-2=0有实数根．已知关于x的方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．已知y关于x的二次函数y=-2x2+（k-2）x+6,当x≥1时,y虽x增大而减小已知二次函数y=x2-（2k+1）x+k2-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴的交点C在y轴负半轴上