(2007•咸安区模拟)设x=1是函数f(x)=x3+ax2+bx的一个极值点(a>0).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 17:57:13
(2007•咸安区模拟)设x=1是函数f(x)=x3+ax2+bx的一个极值点(a>0).
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m>0,若f(x)在闭区间[m,m+1]上的最小值为-3,最大值为0,求m与a的值.
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m>0,若f(x)在闭区间[m,m+1]上的最小值为-3,最大值为0,求m与a的值.
( I)f'(x)=3x2+2ax+b…(1分)
由已知有:f'(1)=0,∴3+2a+b=0,∴b=-2a-3…(3分)
从而f'(x)=3(x−1)(x+
2a+3
3)
令f'(x)=0得:x1=1,x2=−
2a+3
3.∵a>0∴x2<-1
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,x2)(x2,1)(1,+∞)
f'(x)+-+
f(x)增函数减函数增函数从上表可知:f(x)在(−∞,−
2a+3
3),(1,+∞)上是增函数;
在(−
2a+3
3,1),上是减函数 …(6分)
( II)∵m>0,∴m+1>1.由( I)知:
①当0<m<1时,m+1∈(1,2).则最小值为f(1)=-3,得:a=1…(8分)
此时f(x)=x3+x2-5x.从而f(m)=m(m2+m-5)<0,
∴最大值为f(m+1)=0,得m=
21−3
2
此时f(m)=m(m2+m-5)=-2m(m+1)∈(-3,0),适合.…(10分)
②当m≥1时,f(x)在闭区间[m,m+1]上是增函数.
∴最小值为f(m)=m(m2+am-2a-3)=-3(1)
最大值为f(m+1)=(m+1)[(m+1)2+a(m+1)-(2a+3)]=0.(2)…(12分)
由(2)得:m2+am-(2a+3)=-2m-1-a…(3)
将(3)代入(1)得:-m(2m+1+a)=-3.即m(2m+1+a)=3
又m≥1,a>0∴2m+1+a>3从而m(2m+1+a)>3
∴此时的a,m不存在
综上知:m=
21−3
2,a=1.…(14分)
由已知有:f'(1)=0,∴3+2a+b=0,∴b=-2a-3…(3分)
从而f'(x)=3(x−1)(x+
2a+3
3)
令f'(x)=0得:x1=1,x2=−
2a+3
3.∵a>0∴x2<-1
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,x2)(x2,1)(1,+∞)
f'(x)+-+
f(x)增函数减函数增函数从上表可知:f(x)在(−∞,−
2a+3
3),(1,+∞)上是增函数;
在(−
2a+3
3,1),上是减函数 …(6分)
( II)∵m>0,∴m+1>1.由( I)知:
①当0<m<1时,m+1∈(1,2).则最小值为f(1)=-3,得:a=1…(8分)
此时f(x)=x3+x2-5x.从而f(m)=m(m2+m-5)<0,
∴最大值为f(m+1)=0,得m=
21−3
2
此时f(m)=m(m2+m-5)=-2m(m+1)∈(-3,0),适合.…(10分)
②当m≥1时,f(x)在闭区间[m,m+1]上是增函数.
∴最小值为f(m)=m(m2+am-2a-3)=-3(1)
最大值为f(m+1)=(m+1)[(m+1)2+a(m+1)-(2a+3)]=0.(2)…(12分)
由(2)得:m2+am-(2a+3)=-2m-1-a…(3)
将(3)代入(1)得:-m(2m+1+a)=-3.即m(2m+1+a)=3
又m≥1,a>0∴2m+1+a>3从而m(2m+1+a)>3
∴此时的a,m不存在
综上知:m=
21−3
2,a=1.…(14分)
导数 已知x属于(0,1),f(x)=x3+ax2+x+1,--------*已知函数f(x)有且只有一个极值点,求a的
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)若x=-1为函数f(x)e^x的一个极值点,则下列图像不可能为f(x)
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1 设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=
已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x=-1时有极值0 (3)是求实数c的范围
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a
设函数f(x)=-1/3x3+2ax2-3a2x+a(a属于R).求f(x)的单调区间和极值.抱拳了!
设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0).
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,若x=23时,y=f(x)有极值,且曲线y=f(x)在点f(1)处的切线斜率为
设函数f(x)=ax2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线垂直于直线x
已知函数f(x)=x3-ax2-bx的图象与x轴相切于点(1,0),f(x)的极大值为______.