已知函数f(x)=x2-2lnx,h(x)=x2-x+a.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 00:36:27
已知函数f(x)=x2-2lnx,h(x)=x2-x+a.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)∵f′(x)=2x−
2
x,令f′(x)=0,∵x>0∴x=
所以f(x)的极小值为1,无极大值.(7分)
(Ⅱ)∵
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) _ 0 +
f(x) 减 1 增k(x)=f(x)−h(x)=−2lnx+x−a∴k′(x)=−
2
x+1,
若k′(x)=0,则x=2
当x∈[1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3]时,f′(x)>0.
故k(x)在x∈[1,2)上递减,在x∈(2,3]上递增.(10分)
∴
k(1)≥0
k(2)<0
k(3)≥0∴
a≤1
a>2−2ln2
a≤3−2ln3∴2−2ln2<a≤3−2ln3.
所以实数a的取值范围是:(2-2ln2,3-2ln3](15分)
2
x,令f′(x)=0,∵x>0∴x=
所以f(x)的极小值为1,无极大值.(7分)
(Ⅱ)∵
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) _ 0 +
f(x) 减 1 增k(x)=f(x)−h(x)=−2lnx+x−a∴k′(x)=−
2
x+1,
若k′(x)=0,则x=2
当x∈[1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3]时,f′(x)>0.
故k(x)在x∈[1,2)上递减,在x∈(2,3]上递增.(10分)
∴
k(1)≥0
k(2)<0
k(3)≥0∴
a≤1
a>2−2ln2
a≤3−2ln3∴2−2ln2<a≤3−2ln3.
所以实数a的取值范围是:(2-2ln2,3-2ln3](15分)