作业帮已知函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/28 00:36:27
已知函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）∵f′(x)＝2x−
2
x，令f′（x）=0，∵x>0∴x=
所以f（x）的极小值为1，无极大值．（7分）
（Ⅱ）∵
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） _ 0 +
f（x） 减 1 增k(x)＝f(x)−h(x)＝−2lnx+x−a∴k′(x)＝−
2
x+1，
若k′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x）<0；
当x∈（2，3]时，f′（x）>0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）
∴
k(1)≥0
k(2)<0
k(3)≥0∴
a≤1
a>2−2ln2
a≤3−2ln3∴2−2ln2<a≤3−2ln3．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）
2
x，令f′（x）=0，∵x>0∴x=
所以f（x）的极小值为1，无极大值．（7分）
（Ⅱ）∵
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） _ 0 +
f（x） 减 1 增k(x)＝f(x)−h(x)＝−2lnx+x−a∴k′(x)＝−
2
x+1，
若k′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x）<0；
当x∈（2，3]时，f′（x）>0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）
∴
k(1)≥0
k(2)<0
k(3)≥0∴
a≤1
a>2−2ln2
a≤3−2ln3∴2−2ln2<a≤3−2ln3．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）