(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 22:23:23
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;
(2)若函数f(x)−ax+m=0在[
,e]
(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;
(2)若函数f(x)−ax+m=0在[
1 |
e |
(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f′(x)=
2
x−2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2分)
(2)方程f(x)-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0,
令g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=
2
x−2x=
−2(x+1)(x−1)
x,
因为x∈[
1
e,e],故g'(x)=0时,x=1.
当
1
e<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.
故函数g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1,(4分)
又g(
1
e)=m−2−
1
e2,g(e)=m+2-e2,
g(e)−g(
1
e)=4−e2+
1
e2<0,则g(e)<g(
1
e),
故函数g(x)在[
1
e,e]上的最小值是g(e).(6分)
方程f(x)-ax+m=0在[
1
e,e]上有两个不相等的实数根,则有
g(1)=m−1>0
g(
1
e)=m−2−
1
e2≤0
解得1<m≤2+
1
e2,故实数m的取值范围是(1,2+
1
e2].(8分)
(3)∵函数f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),2lnx-x2+ax=0的两个根为x1,x2,
则
f′(x)=
2
x−2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2分)
(2)方程f(x)-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0,
令g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=
2
x−2x=
−2(x+1)(x−1)
x,
因为x∈[
1
e,e],故g'(x)=0时,x=1.
当
1
e<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.
故函数g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1,(4分)
又g(
1
e)=m−2−
1
e2,g(e)=m+2-e2,
g(e)−g(
1
e)=4−e2+
1
e2<0,则g(e)<g(
1
e),
故函数g(x)在[
1
e,e]上的最小值是g(e).(6分)
方程f(x)-ax+m=0在[
1
e,e]上有两个不相等的实数根,则有
g(1)=m−1>0
g(
1
e)=m−2−
1
e2≤0
解得1<m≤2+
1
e2,故实数m的取值范围是(1,2+
1
e2].(8分)
(3)∵函数f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),2lnx-x2+ax=0的两个根为x1,x2,
则
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=13ax3+x2−x,a∈R
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
(2011•深圳一模)已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R
已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).
(2014•商丘二模)已知函数f(x)=lnx-x-ax,a∈R.