(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 22:24:12
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:e
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:e
(1)f′(x)=2x+a−
1
x=
2x2+ax−1
x≤0在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax-1,有
h(1)≤0
h(2)≤0得
a≤−1
a≤−
7
2,
得a≤−
7
2
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=a−
1
x=
ax−1
x
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e(舍去),
②当0<
1
a<e时,g(x)在(0,
1
a)上单调递减,在(
1
a,e]上单调递增
∴g(x)min=g(
1
a)=1+lna=3,a=e2,满足条件.
③当
1
a≥e时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e(舍去),
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.
(3)令F(x)=e2x-lnx,由(2)知,F(x)min=3.
令
1
x=
2x2+ax−1
x≤0在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax-1,有
h(1)≤0
h(2)≤0得
a≤−1
a≤−
7
2,
得a≤−
7
2
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=a−
1
x=
ax−1
x
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e(舍去),
②当0<
1
a<e时,g(x)在(0,
1
a)上单调递减,在(
1
a,e]上单调递增
∴g(x)min=g(
1
a)=1+lna=3,a=e2,满足条件.
③当
1
a≥e时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e(舍去),
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.
(3)令F(x)=e2x-lnx,由(2)知,F(x)min=3.
令
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•商丘二模)已知函数f(x)=lnx-x-ax,a∈R.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x+1x,x>0x3+9,x≤0,若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)
(2010•沈阳二模)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
(2013•湖州二模)已知函数f(x)=2ax+1x+(2-a)lnx(a∈R).
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.