(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/07 09:17:11
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−
)x
1 |
2 |
(I)当a=1时,f(x)=
1
2x2+lnx(x>0),
f′(x)=x+
1
x
可知当x∈[1,e]时f(x)为增函数,
最小值为f(1)=
1
2,
要使∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,即f(x)的最小值小于等于m,
故实数m的取值范围是[
1
2,+∞)
(2)已知函数f(x)=(a−
1
2)x2+lnx(a∈R).
若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,
等价于对任意x∈(1,+∞),f(x)<2ax,
即(a−
1
2)x2+lnx−2ax<0恒成立.
设g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞)).
即g(x)的最大值小于0.g′(x)=(x−1)(2a−1−
1
x)
(1)当a≤
1
2时,g′(x)=(x−1)(2a−1−
1
x)<0,
∴g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞))为减函数.
∴g(1)=-a-
1
2≤0
∴a≥-
1
2
∴
1
2≥a≥−
1
2
(2)a≥1时,g′(x)=(x−1)(2a−1−
1
x)>0.
g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞))为增函数,
g(x)无最大值,即最大值可无穷大,故此时不满足条件.
(3)当
1
2<a<1时,g(x)在(1,
1
2a−1)上为减函数,在(
1
2a−1,+∞)上为增函数,
同样最大值可无穷大,不满足题意.综上.实数a的取值范围是[−
1
2,
1
2].
1
2x2+lnx(x>0),
f′(x)=x+
1
x
可知当x∈[1,e]时f(x)为增函数,
最小值为f(1)=
1
2,
要使∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,即f(x)的最小值小于等于m,
故实数m的取值范围是[
1
2,+∞)
(2)已知函数f(x)=(a−
1
2)x2+lnx(a∈R).
若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,
等价于对任意x∈(1,+∞),f(x)<2ax,
即(a−
1
2)x2+lnx−2ax<0恒成立.
设g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞)).
即g(x)的最大值小于0.g′(x)=(x−1)(2a−1−
1
x)
(1)当a≤
1
2时,g′(x)=(x−1)(2a−1−
1
x)<0,
∴g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞))为减函数.
∴g(1)=-a-
1
2≤0
∴a≥-
1
2
∴
1
2≥a≥−
1
2
(2)a≥1时,g′(x)=(x−1)(2a−1−
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x)>0.
g(x)=(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1,+∞))为增函数,
g(x)无最大值,即最大值可无穷大,故此时不满足条件.
(3)当
1
2<a<1时,g(x)在(1,
1
2a−1)上为减函数,在(
1
2a−1,+∞)上为增函数,
同样最大值可无穷大,不满足题意.综上.实数a的取值范围是[−
1
2,
1
2].
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx.(a∈R)
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=a(x2+1)+x−1x−lnx(a∈R).
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2011•深圳一模)已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
(2011•杭州二模)已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx.
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=13ax3+x2−x,a∈R