已知函数f(x)＝a(x2+1)+x−1x−lnx(a∈R)．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 00:28:37

已知函数f(x)＝

a(x

（1）f′(x)＝a−
a−1
x2−
1
x＝
(ax+a−1)(x−1)
x2．（2分）
①当
1−a
a＞1时，即0＜a＜
1
2时，此时f（x）的单调性如下：
x （0，1） 1 （1，
1−a
a）
1−a
a （
1−a
a，+∞）
f′（x） + 0 _ 0 +
f（x）增减增（4分）
②当a=0时，f′(x)＝
1−x
x2，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（5分）
③当a＜0时，
1−a
a＜0，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（6分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜
1
2时，f（x）在（0，1），（
1−a
a，+∞）上是增函数，
在（1，
1−a
a）上是减函数．（7分）
（2）由（1）知，当a＝
1
3时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，f(x1)∈(−∞，
2
3]．（8分）
从而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=
x22−2bx2+4≤[−f(x1)]min＝−
2
3⇔[g(x)]min≤−
2
3，x∈[1，2]（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g(1)＝5−2b≤−
2
3，b≥
17
6（舍去）..（11分）
②当b≥2时，，g（x）在[1，2]上递减，[g(x)]min＝g(2)＝8−4b≤−
2
3，b≥
13
6
∴

已知函数f(x)＝a(x2+1)+x−1x−lnx(a∈R)．已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx．（a∈R）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)ex+x 已知函数f(x)＝ax+lnx−1，a∈R．（2013•梅州一模）已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx(a∈R)．已知函数f(x)=a-x2/x+lnx(a∈R,x∈[1/2,2]) 已知函数f(x)＝lnx−ax+1−ax−1(a∈R) 已知函数f(x)x2+ax-lnx a属于R 当a=1 已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．设函数f(x)＝1−a2x2+ax−lnx(a∈R)．已知函数f(x)＝lnx−12ax2+(a−1)x（a∈R且a≠0）．