证明,函数在某一连续可导区间内存在的唯一极值点即为最值点
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 22:55:00
证明,函数在某一连续可导区间内存在的唯一极值点即为最值点
反证
设函数f(x)在区间[a,b]连续可导,有唯一极值点c,但其不是最值点
不妨设c点为极大值点但不是最大值点,设最大值点为d
若d>c ,考察区间[c,d],f(x)在区间[c,d]连续可导,所以f(x)在[c,d]中有最小值e
显然e不等于d,又因c是[a,b]上的极大值点,存在c的某个邻域内函数值均小于f(c)
所以c也不是[c,d]区间的最小值点,所以存在e∈(c,d)为[c,d]中最小值
所以e也是[a,b]区间的极小值点,与c是唯一极值点矛盾.
若d
设函数f(x)在区间[a,b]连续可导,有唯一极值点c,但其不是最值点
不妨设c点为极大值点但不是最大值点,设最大值点为d
若d>c ,考察区间[c,d],f(x)在区间[c,d]连续可导,所以f(x)在[c,d]中有最小值e
显然e不等于d,又因c是[a,b]上的极大值点,存在c的某个邻域内函数值均小于f(c)
所以c也不是[c,d]区间的最小值点,所以存在e∈(c,d)为[c,d]中最小值
所以e也是[a,b]区间的极小值点,与c是唯一极值点矛盾.
若d
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