已知函数f(x)=aex+b在(0,f(0))处切线为x-y+1=0.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/05 09:37:07
已知函数f(x)=aex+b在(0,f(0))处切线为x-y+1=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1<x2,k表示直线AB的斜率,求证:f′(x1)<k<f(x2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1<x2,k表示直线AB的斜率,求证:f′(x1)<k<f(x2).
解(1)f(x)=aex+b,f′(x)=aex,
∴由f′(0)=1得a=1
把x=0代入x-y+1=0得y=1,
即f(0)=1,
∴b=0,
∴f(x)=ex.
(2)证明:由(1)得f′(x)=ex,
∴证明f′(x1 )<k<f′(x2 )即证ex1<
ex1−ex2
x1−x2<ex2,
各项同除以ex1,即证1<
ex2−x1−1
x2−x1<ex2−x1,
令t=x2-x1,则t>0,这样只需证明1<
et−1
t<et(t>0),
即t<et-1<tet
设g(t)=et-t-1,g′(t)=et-1,
∵t>0,∴g′(t)>0,即g(t)在(0,+∞)上是增函数
∴g(t)>g(0)=0,即et-1>t,
设h(t)=(t-1)et+1,h′(t)=et+(t-1)et=tet>0,
∴h(t)在(0,+∞)也是在增函数
h(t)>h(0)=0,即tet>et-1,
从而证明了t<et-1<tet成立,
∴f′(x1 )<k<f′(x2)成立.
∴由f′(0)=1得a=1
把x=0代入x-y+1=0得y=1,
即f(0)=1,
∴b=0,
∴f(x)=ex.
(2)证明:由(1)得f′(x)=ex,
∴证明f′(x1 )<k<f′(x2 )即证ex1<
ex1−ex2
x1−x2<ex2,
各项同除以ex1,即证1<
ex2−x1−1
x2−x1<ex2−x1,
令t=x2-x1,则t>0,这样只需证明1<
et−1
t<et(t>0),
即t<et-1<tet
设g(t)=et-t-1,g′(t)=et-1,
∵t>0,∴g′(t)>0,即g(t)在(0,+∞)上是增函数
∴g(t)>g(0)=0,即et-1>t,
设h(t)=(t-1)et+1,h′(t)=et+(t-1)et=tet>0,
∴h(t)在(0,+∞)也是在增函数
h(t)>h(0)=0,即tet>et-1,
从而证明了t<et-1<tet成立,
∴f′(x1 )<k<f′(x2)成立.
设函数f(x)=x-aex-1.
已知函数f(x)=alnx x+1 +b x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (
一道关于导函数的题原题是这样的:f(x)=aex+aex+b(a>0).(1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值答案中
已知函数f(x)=(alnx)/(x+1)+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0求
已知函数f(x)=alnx/(x+1)+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0
已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).
已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜
已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.
设函数f(x)=aex+1ae
函数f(x)=x+a/x+b(x不等于0).若曲线y=f(x)在点p(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求f(x