A为n阶矩阵,且rankA=rankA^2,证明：rankA=rankA^3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/14 02:44:54

用Jordan标准型处理.
设 e1,e2,...,es 是A的一个对应于特征根r的Jordan块的一组基.即：
Aei=rei +e(i+1),i=1,...,s-1; Aes=res.
情形1：
如果 r 非零,则 rank{Ae1,...,Aes} = s = rank{A^3e1,...,A^3es}
情形2：
如果 r=0.则
rank{Ae1,...,Aes} =rank{e2,...,es,0}= max{s-1,0}
rank{A^2e1,...,A^2es}=rank{e3,...,es,0,0}= max{s-2,0}
因为 rankA = rank A^2,==> max{s-1,0} =max{s-2,0} ==> s rank{Ae1}=0=rank{A^3e1}
于是把每个Jordan块的上述的一组基,合在一起,称为 a1,a2,.,an,构成为R^2的一组基,
则有：rank A = rank{Aa1,Aa2,.,Aan}
=rank{A^3a1,A^3a2,...,A^3an} ------- 根据上面的证明.
=rankA^3

矩阵论中,当A~B则rankA=rankB表示什么意思啊? 高等代数矩阵证明题A为nxn矩阵,rankA=r,证：存在一个nxn可逆矩阵P使PAP∧(-1)的后n-r行全为0（只用关于矩阵乘积的秩.m*s矩阵A,s*n矩阵B,证明rankA+randB-s 设A是n阶方阵,α1,α2...αn是n个线性无关的n维向量,证明rankA=n的充分必要条件是Aα1,Aα2,.,Aα 如何证明非齐次线性方程组Ax=b无解的充要条件是：rankA+1=rank（A,b）? 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化. A为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A^2=A且A不等于I.证明A必为奇异矩阵 A为n阶实矩阵,证明：AA'=A^2当且仅当A=A‘ A为n阶矩阵,且A^2-A=2E,证明A可以对角化 A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA 设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：