已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图像,若f(2)=-1,则f(1)+

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 02:01:26

已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图像,若f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2011)的值为?
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原函数在R上满足：f(x) = f(-x)
向右平移一个单位后：另g(x) = f(x-1)
而在R上g(x)是奇函数,所以：
g(x)+g(-x) = 0
而g(-x) = f(-x-1)
所以：f(x-1) + f(-x-1) = 0
有：f(x-1) + f(x+1) = 0
成立
当x取2,6,10.2010时,
f(1) + f(3)=0
f(5) + f(7)=0
.
f(2009)+f(2011) = 0
以上各式相加：
f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+.+f(2011) = 0.(1)
令x = x +1,则：
f(x) + f(x+2) = 0
当x取2,6,10,.2008时：
f(2) + f(4) = 0
f(6) + f(8) = 0
f(10) + f(12) = 0
.
f(2008) + f(2010) = 0
f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+.+f(2010) = 0.(2)
因此；(1)+(2)得：
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2011) = 0
再问： f(x-1) + f(-x-1) = 0 怎么得到f(x-1) + f(x+1) = 0
再答：因为f(x) = f(-x)
再问： g(x)=-g(-x)，那为什么g(-x) = f(-x-1) 由g(x) = f(x-1)，g(-x)应该等于-f(x-1)啊
再答：晕死，怎么能这样理解？ g(x) = f(x-1) 则：g(t) = f(t-1) 令t = -x g(-x) = f(-x-1)