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（2010•江苏模拟）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/29 19:55:37
（2010•江苏模拟）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f1（x）=x2，f
（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=（αx1+（1-α）x2）2-αx12-（1-α）x22=-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2=-α（1-α）（x1-x2）2≤0．
即f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f1（x）=x2是C函数．
f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，α＝
1
2，
则f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=f(−2)−
1
2f(−3)−
1
2f(−1)＝−
1
2+
1
6+
1
2＞0．
即f（αx1+（1-α）x2）＞αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝
n
m∈[0，1]，
∵f（x）是R上的C函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
n
m×2m＝2n；
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
函数f（x）的定义域为D,若对任意x1,x2∈D,当x1＜x2时,都有f（x1）≤f（x2）,则称f（x）在D上为非减函 （1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且 1、定义在R上的函数f（x）(f(x)≠0)满足对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f 定义在R上的函数f(x) (f(x)≠0)满足：对任意实数x1,x2,总有f（x1+x2）=f（x1）f(x2),且x＞ 已知函数y=f(x)是定义在区间D上的增函数,对于任意的x1,x2∈D,且x1≠x2,则式子（f(x1)-f(x2)）/ 若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的 已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且 若定义在R上的函数f（X）满足：对任意X1,X2都有f（X1+X2)=f（X1)+f(X2)+1,则f（X)+1为偶函数 若定义在R上的函数f(x)满足对任意两个实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则正确的是 （2011•江西模拟）定义在R上的偶函数满足：对任意x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1 设函数f（x）是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2都有f（X1+X2）+f（x1-x2）=2f（x1）f（x2）求f