作业帮一题有关数论的中学奥数题求解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 20:33:24
一题有关数论的中学奥数题求解
a,b为正整数,且a,b为偶数.
求证：一定存在正整数c和d
使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方
注：不得举例子证明
a,b为正整数,且a,b为偶数.
求证：一定存在正整数c和d
使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方
注：不得举例子证明
因为a,b为偶数,所以可设a=2m,b=2n,取d=m^2+n^2+1,c=m^2+n^2-1,
那么
d^2-c^2
=(m^2+n^2+1)^2-(m^2+n^2-1)^2
=[(m^2+n^2+1)-(m^2+n^2-1)]*[(m^2+n^2+1)+(m^2+n^2-1)]
=2(2m^2+2n^2)
=4m^2+4n^2
=(2m)^2+(2n)^2
=a^2+b^2,
所以a^2+b^2+c^2 = d^2.
那么
d^2-c^2
=(m^2+n^2+1)^2-(m^2+n^2-1)^2
=[(m^2+n^2+1)-(m^2+n^2-1)]*[(m^2+n^2+1)+(m^2+n^2-1)]
=2(2m^2+2n^2)
=4m^2+4n^2
=(2m)^2+(2n)^2
=a^2+b^2,
所以a^2+b^2+c^2 = d^2.